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作者：张天蓉 弦论最让人难以理解的是它为什么是一个多维空间的模型？我们的空间明明是3维的，弦论却加上了额外的维度，并用看不见摸不着的“紧致化”来解释这多出来的时空维度，不免显得有点邪乎！ 其实，弦论的诞生与发展有他的历史根源。弦论的时空如果不算时间，最早的玻色弦论是25维空间、超弦论则是9维，M理论是10维。为何刚好选中的是25、9、10，此既与经典的量子理论和时空理论有关，也是弦论为了保证理论自洽性的产物。因为如果不是这些维数的时空，便会出现一些奇怪的“反常”结果，诸如概率大于1、负概率、光子质量不为零，等等。 一个物理理论必须基于一个时空框架来描述物理现象，客观上的空间维度数属于宇宙的本质问题。弦论之前的理论物理，无论是经典、量子、或相对论，对空间的维度都没有提出任何限制，这其实是毫无疑问地默认了“三维空间”，当然，就理论本身而言，把他搬到多少维空间描述也是照样成立的。 但是，基础物理学的目的终归是为了解释世界，回答一个又一个的“为什么”。这种解释是一层一层逐步展开的：经典物理解释的是人人都可见的宏观现象；量子物理解释一般人不了解，但实验室能观测到的微观世界；狭义相对论解释高速运动；广义相对论则解释大尺度的宇观世界。到了弦论这一层次，除了统一引力和量子的目的之外，物理学家们也希望能解释一些更为基本的事实。例如：质量的来源，电荷的来源，等等。其中也包括“时间是什么，空间是什么”这些古老的疑问，以及“空间为什么是三维的，时间为什么是一维的”这类可能是前辈物理学家想都没想过的问题。 根据弦论模型，弦的不同振动产生不同的粒子。例如：以A方式振动产生夸克，以B方式振动产生中微子……等等。弦的振动产生了现有理论中的“基本粒子”，基本粒子又构成了世界万物。我们可以认为，这就是弦论最基本的思考。 图36-1：弦不同振动构成万物 按照弦论，引力子由闭弦的运动产生，光子则由开弦的振动产生。由于这两种粒子的静止质量都为零，弦论的空间维度数便与光子静止质量为零这一点有关。 既然把光子理解是微观中的客体，它就应该有质量，不然的话，光子没有质量就什么都不是了，可是光的存在性是不可否定的。所以光子有静止质量，即最小质量，它由光子可能有的振动模式来决定： 光子静止质量 = 光子弦基态能 + 光子弦振动能 图36-2：谐振子的基态能和振动能 图36-2是谐振子的基态能和振动能示意图。基态能是最低的能量态，是一种“量子涨落”，它与“振动能”不是一码事。按照经典物理，基态能量应该为0，Ec = 0（图36-2a）。按照弦论，弦的运动符合量子规律，遵循不确定性原理，每个基态的能量都不可能为0，对所有可能的振动模式求和后，便是基于“量子涨落”的基态能：Eq = S(hw/2)（图36-2b）。振动能所表征的则是某种激发态：En = hwn（图36-2c）。 图36-3：D维空间中光子弦的振动 光子由开弦的振动产生，对应于开弦的能量。图36-3a示意的光子只是D维空间的一条开弦，它的振动情况与图36-2所示谐振子类似。 最早的玻色弦论可从图36-3a看。假设在D维空间中的光子的传播方向如红色箭头所示，因为光子的振动是横波，所以在传播方向没有振动，可能的振动只会发生在除传播方向之外的其它（D-1）维空间中。在每一维空间，振动可以取无穷多种（1+2+3+……）模式（图36-3b），而其总的可能模式数目为： M = (D-1)x(1+2+3+…) = (D-1) x S自然数 总模式数决定了光子基态的能量，再加上激发态的振动能（根据弦论的光子模型，这个数值是2）。因此，光子最小质量： m0 = (D-1) x S自然数 + 2 这就冒出了一个奇怪的问题：要使光子最小质量m0 =0，可能的模式数目M就只能是-2！然而S自然数是所有的自然数之和，是个无穷大的数值。所以，弦论牵扯到的是自然数的求和问题。 我们知道，S = 1+2+3+…是一个不收敛的级数，数学家们曾经绞尽了脑汁研究这个问题。印度数学家拉马努金（Ramanujan，1887-1920）在这方面就有一些有趣的成果，数学家们评价他“出身普通，自学成才，未经训练，知识不多，依赖直觉，成果空前”。他是由英国著名数学家戈弗雷·哈代（Godfrey Hardy，1877－1947）所发掘的一个人才，用哈代的话说，拉马努金“对现代欧洲数学家的成果完全无知”、“就是个接受了一半教育的印度人。” 1913年，穷困潦倒疾病缠身的拉马努金已经作了很多数学研究。他致信剑桥大学的哈代，提及他所发现的一大堆数学公式。哈代带着困惑检验了这个印度小职员的研究结果，发现有好几个令他吃惊的玩意儿，便安排向拉马努金发出了一封到剑桥大学的邀请函。拉马努金来剑桥待了近6年，之后因病返回印度后不久便去世了，年仅32岁。他惯以直觉导出公式，不爱作证明。据说他给出了3000多个公式，平均每年100个！他的理论往往被证明是对的，他所猜测的公式还启发了几位菲尔兹奖获得者的工作。 在拉马努金致哈代的信中包括了自然数求和的问题。他的答案惊人，其中有一个结论是：从1到无穷大的自然数之和等于（-1/12）！下图是拉马努金有关这个级数的笔记： 拉马努金对自然数无穷级数的求和有两种方法，一种极为不严格，一种极为严格。哈代看了他的信之后感觉“此人不是疯子便是天才！”。当然，哈代对于自然数求和的结论并不感觉惊讶和奇怪，因为早在18世纪的欧拉就有了深入的研究，后来的黎曼又用他的ζ函数对自然数求和得到了更为严格的结果。 如何计算自然数之和？拉马努金对（- 1/12）有一个不严谨不靠谱的“证明”（网上流传的与其写到上面笔记中的方法大同小异）： 将所有自然数之和记作S ， S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …… -4S = - 4 - 8 - 12+... - 16 ... - 20 .. - 24 …… 将两个等式相加： －3S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …… 然后，拉马努金利用函数1/(1+x)2的泰勒级数展开来计算上面的级数， 1/(1+x)2 = 1 – 2x + 3x2 – 4x3 + 5x4 – 6x5 + …… 最后，设定x = 1，便得到：－3 S = 1/(1+1)2 = 1/4，由此得S = -1/12。 这个“证明”是不可取的，因为“错位加减”不能用于发散级数，不同的错位加减，会导致不同的结果。拉马努金很聪明，在给出简单理解的同时也给出了严格的证明，表明了求和与定义有关。 正确的传统求和定义被称为柯西（Cauchy）“求和”，但这个定义尽管符合常理却不能处理发散的无穷级数。数学家们就想：是否可以通过改变求和的定义来给无穷级数一个有意义的数值呢？为此，数学家们定义了Cesaro求和、Abel求和、拉马努金求和等。其中最简单的Cesaro求和采用了“和的平均值”处理下面的级数： 1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - …… 这个级数不收敛，它是以相等的概率在0、1两个数之间摇摆。根据Cesaro求和，可以把结果定义为1/2，尽管不是通常意义下的（Cauchy和），却也容易直观理解，因为1/2是1和0的平均值。 如果和的平均值仍然不收敛的话，有些人就用“和的平均值”的平均值来定义“和”，还可以进一步依此类推下去……；或者用别的方法来定义“和”。据说拉马努金就提出了一个非常复杂、难懂的求和方法。 处理发散的无穷级数，解析延拓是一个有效的方法。它的意思是说将函数的定义域“解析”扩大到原来不能应用的数域。当然，这种解析延拓必须符合严格的数理逻辑原则。 用解析延拓来解决自然数求和的问题，早在拉马努金写信给哈代的一百多年之前，欧拉就研究了自然数的求和，他也是用“错位加减”的不怎么靠谱方法，得出了（-1/12）的结论。他在证明过程中用了一个级数展开式： 欧拉对这个求和定义的s为正实数。回来黎曼研究该级数，他首先把定义域扩展到了实部大于1的复数。然后黎曼证明了一个函数方程： 其中Γ( n)是Γ函数：Γ( n) = (n-1)!。用这个方程，黎曼又将其ζ函数解析延拓到实部小于1的情况。例如，如果将s = -1代入上面的方程： Γ( 1-s) = Γ( 2) = 1， ζ ( 1-s) = ζ (2) = p2/6 便能得到：ζ ( -1) = -1/12。 对于自然数求和，笔者比较愿意接受的是用洛朗级数展开的方法。泰勒展开将函数展开为幂级数（包含0和正整数幂的展开），但有时无法把函数表示为泰勒级数。洛朗级数（Laurent series）也是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的正项，也包含了负数次数的项，即： 例如，对自然数求和公式： 考虑复变函数： 在e 的零点附近的洛朗展开： 所以，全体自然数的和为- 1/12 并非是莫名其妙地冒出来的，其实它是e 的零点附近的洛朗展开中的零阶项。我们可以如此理解：所有自然数的和是无穷大，但趋向这个无穷大时有其渐进性质（1/e2），e在趋于零时也趋于零的高阶项，只留下与之无关的（- 1/12）。这个结果也符合重整化的思想。 现在我们可以回到利用光子最小质量为0来计算维度的问题了。在玻色弦论中，光子最小质量m0 = (D-1) x S自然数 + 2，将S自然数 = -1/12代入，并令m0 = 0，可以解出D = 25。因此，玻色弦论需要25维的空间才能自洽。 对于超弦论来说，除了通常意义下的空间之外，还有超空间以及其上的格拉斯曼数空间（已超出科普范围，介绍从略）。由于有三类空间存在，光子对应的弦振动基态能量就变成了原来的三倍，于是，光子最小质量m0=3 x (D-1) x S自然数 + 2 = - 3 x (D-1)/12 + 2 = 0，再代入S自然数 = -1/12便得到空间维数D=9。 至于后来的m理论，则是因为统一5个超弦理论及超引力理论的原因而将空间维数增加到了10维。 |
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