1. 前言 这篇文档，是为那些想了解混合线性模型的人准备的。这里面很多部分，可以在很多领域中使用 。我们假定大家对一些矩阵和线性回归的理论有所了解，但是更高级的知识只有模糊的认识，希望对你有所帮助。
混合线性模型，不同的学科有不同的名称，使用不同的术语去描述同样的东西。 这里试图用一种比较简明的方法进行阐述，我希望这不会让你更迷惑。
混合模型是用于群集数据情况的极其有用的建模工具。拥有重复测量观测数据的数据或以其他方式聚集观测数据的数据（例如学校内的学生，地理区域内的城市）非常普遍。混合模型可以以多种方式处理此类数据，但是对于刚开始使用的术语，尤其是跨学科的术语，可能有点令人生畏。
关于混合模型，您可能会遇到一些术语：
Random intercepts and slopes 随机截距和斜率
Varying coefficients 系数变化
Intercepts and slopes-as-outcomes 拦截和结果倾斜
Hierarchical linear models 分层线性模型
Growth curve models (possibly Latent GCM) 增长曲线模型（可能是潜在的GCM）
Mixed effects models 混合效果模型
所有描述混合模型的名称， 有些可能更具历史性，有些则更多地出现在特定学科中，有些则可能引用某种数据结构（例如多级群集），而另一些则是特殊情况。
混合效应或简单混合模型通常是指固定效应和随机效应的混合。我更喜欢混合模型一词，因为它很简单并且没有暗示特定的结构。
首先，让我们从标准线性模型开始，以熟悉该表示法。为了使事情尽可能简单，同时又可以推广到常见数据情况，我将假设一些感兴趣的变量y和一个连续/数字协变量。
这里：
e 是残差，它满足平均数为0，方差为Ve的正态分布 如果写为矩阵的形式：
μ = X %*% β在尝试达到平衡时，我怀疑这种方法可能会在不同程度上成功或失败，但是在符号和代码之间（很多教科书演示中都缺少这种东西），我希望事情会很清楚。
让我们看一些数据，开始考虑混合模型。我将使用lme4软件包中的sleepstudy数据。以下描述来自相应的帮助文件。
❝ 睡眠剥夺研究对象每天的平均反应时间。在第0天，受试者具有正常的睡眠量。从那天晚上开始，他们每晚只能睡3个小时。观察结果代表每天对每个受试者进行的一系列测试的平均反应时间（以毫秒为单位）。
❞ 让我们使用标准的线性模型来探讨持续睡眠剥夺对反应时间的影响。
这里用线性回归模型，Days为x变量，Reaction为y变量（还有人和我一样，对因变量和自变量摸不着头脑的么，用x变量和y变量更容易理解有没有！）
# > data(sleepstudy, package='lme4')在天数为正的情况下，我们看到更多的睡眠剥夺会导致反应时间增加/变慢。但是让我们绘制数据。
因此，我们要考虑数据的集群性质。与其像上面的SLiM中那样忽略聚类，不如考虑为每个人运行完全独立的回归。但是，这些模型通常只需要很少的数据就可以运行，并且会被过度上下文化。正如我们将看到的，混合模型将允许每个人的随机截距和斜率，并在不因个人而异的情况下考虑聚类。
如何描述这个模型？事实证明，它可以并且以多种方式显示，具体取决于您正在查看的文本或文章。以下内容受Gelman＆Hill（2007）的启发，他们展示了编写混合模型的五种方法。为简单起见，我们通常只关注随机截距模型，但有时会超出该范围。前几对公式仅需要了解标准回归模型，但其他模型描述则需要更多知识。
这里，设置：Va = 0.50.5 = 0.25
Ve = 1 1 =1
随机因子blup：gamma_
截距：3
固定因子blue：0.75
# setup「使用lme4包运行」
library(lme4)
提取blup值：
「asreml代码」
> library(asreml)结果是一致的
比较设定的blup值和计算的blup值的相关系数：
> cor(gamma_,coef(mod1)$random)sleepMod = lmer(Reaction ~ Days + (Days|Subject), data=sleepstudy)> # sleepstudy 数据查看每个subject的效应值以及截距：
> ranef(sleepMod)如果我们对其进行作图：
我们可以看到混合模型的好处，因为我们会有结合了个体特定影响的预测，预测的更准确。
我将简要提及其他一些主题，但这些主题不会改变到目前为止讨论的一般方法。
增加分组的协变量（Cluster level covariates ） 你可能注意lme4包中没有给出p-value值，软件不会直接给出（除非用的是贝叶斯框架），其它软件包给出p-value，不一定说明他就是正确的。 随机因子有关系矩阵？响应变量是二分类？还有很多问题需要考虑，有些数据不适合用混合模型去分析 在模型描述和代码之间，希望您对标准的混合模型框架有了很好的了解。混合模型是对标准glm的非常灵活的扩展，可以直接与加性模型，空间模型和其他模型建立联系，因此可以将它们带到很远。我可以说在lme4，mgcv和brms之间，将有很多很多方法可以以多种方式浏览其数据。祝您研究顺利！
❝ Bates, Douglas, Martin Mächler, Benjamin Bolker, and Steven Walker. 2015. “Fitting Linear Mixed-Effects Models Using Lme4.”
Fahrmeir, Ludwig, Thomas Kneib, Stefan Lang, and Brian Marx. 2013. “Regression.”
Gelman, Andrew, and Jennifer Hill. 2007. “Data Analysis Using Regression and Multilevel/Hierarchical Models.”
Gelman, Andrew, John Carlin, Hal Stern, David Dunson, Aki Vehtari, and Donald Rubin. 2013. “Bayesian Data Analysis.”
Wood, Simon. 2006. “Generalized Additive Models.”
❞ 英文原文：https://m-clark./docs/mixedModels/mixedModels.html#standard_linear_model
「个人公众号：育种数据分析之放飞自我」
这告诉我们什么？黑线是我们当前模型的建议，即假设每个人的出发点和轨迹都相同。但是，我们看到对象的起点可能相差100毫秒之多。此外，虽然斜率通常为正，但有些斜率随时间变化很小甚至没有变化。换句话说，个人的截距和坡度都有明显的变化。我们将在最后讨论这些数据。
在上面，c簇内的每个观测i都有一个截距α，这取决于它所属的c簇。αc假设为正态分布，平均μα和方差τ2。μα是我们在SLiM方法中看到的总截距。e是SLiM中描述的正态分布的平均零。对于每一个模型描述，我将注意到一个主要的参考，在那里人们可以看到它的形式与特定的文本或文章几乎相同。它将不是唯一一个这样做的引用，但至少它应该是一个提供一些额外视角的引用。
