如何利用法向量确定二面角是锐角还是钝角

徐加华 李霞 和法文

(山东省新泰市第一中学 271200)

摘 要：二面角大小的求解问题是高考考查的重点内容.本文给出了如何利用法向量确定二面角是锐角还是钝角的方法，以飨读者.

关键词：二面角；法向量；锐角；钝角

一、前言

我们知道,二面角的平面角与两个平面的法向量的夹角相等或互补.那么到底什么情况下相等，什么情况下互补呢？2020年5月投入使用的普通高中教科书数学选择性必修第一册也没有给出相应的判断方法，而是采用将问题改成求平面的夹角来回避这个问题.

二、引例解析

我们先看摘自薛金星老师主编的《解透教材·高中数学选择性必修第一册(RJ·A)》第85页上的一道题目：如图1在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥BC,E是棱PC的中点.∠DAB=90°,AB∥CD,AD=CD=2AB=2.

图1

(1)求证：平面PA⊥平面ABCD.

(2)若二面角E-BD-P大于60°，求四棱锥P-ABCD体积的取值范围.

我们先看资料给出的答案：

(1)证明 ∵∠DAB=90°,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA.∵PA⊥BC,AB∩BC=B,∴PA⊥平面ABCD.

(2)解 如图2,以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.

图2

设AP=t，则

设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则取y=1,得设平面BDE的法向量为m=(a,b,c),则取b=1,得二面角E-BD-P大于解得四棱锥P-ABCD的体积四棱锥P-ABCD体积的取值范围是

很明显，当点P趋近点A时，体积趋向于0，而这时二面角E-BD-P的平面角是钝角，符合题意.所以该题所给出的答案是不正确的.错误的原因就是在没有弄清楚法向量的夹角与二面角的关系，简单地把二面角E-BD-P大于60度这一条件等价于

1.基本常识

已知平面α，点M∈α,N∉α,且点N在平面α的上方，m是平面α的一个法向量，若则m的方向向上(如图3(1)).若则m的方向向下(如图3(2)).

图3

2.基本结论

已知二面角α-l-β，用一个起点在平面α内、终点在平面β内(两点都不在平面的交线l上)的向量分别与这两个半平面的法向量作数量积：如果数量积的符号相同，则这个二面角α-l-β的平面角就等于其法向量的夹角；如果数量积的符号相反，则这个二面角α-l-β的平面角与其法向量的夹角互补.

3.结论证明

已知m,n分别是平面α，β的法向量，设M,N分别是平面α，β内的点，且两点都不在平面α与β的交线l上，二面角α-l-β的大小为θ，<m,n>为向量m与n的夹角.

求证：若则θ=<m,n>；若则θ=π-<m,n>.

证明：(1)当时，根据基本常识，得m与n的方向如图4(1)，则二面角α-l-β的平面角就等于其法向量的夹角，于是θ=<m,n>.

(2)当时，根据基本常识，得m与n的方向如图4(2)，则二面角α-l-β的平面角就等于其法向量的夹角，于是θ=<m,n>.

图4

(3)当时，根据基本常识，得m与n的方向如图5(1)，则二面角α-l-β的平面角与其法向量的夹角互补，即θ=π-<m,n>.

(4)当时，根据基本常识，得m与n的方向如图5(2)，则二面角α-l-β的平面角与其法向量的夹角互补，即θ=π-<m,n>.

图5

综上所述，若则θ=<m,n>；若则θ=π-<m,n>.

说明：所取向量的起点、终点都不能在两个平面的交线上.我们可以向量可称为“检测向量”.

下面处理上述题目的第2问：建立如图2的空间直角坐标系，设AP=t>0，则设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则取y=1,得同理得取检测向量所以法向量n，m的夹角就等于二面角的平面角.由于二面角E-BD-P大于四棱锥P-ABCD的体积四棱锥P-ABCD体积的取值范围是

参考文献：

[1]薛金星.解透教材·高中数学选择性必修第一册(RJ·A)[M].西安:陕西人民教育出版社，2020(4).

作者简介：徐加华，男，山东省新泰人，从事高中数学教学研究.