三角形的内角
一、教学目标：
1、知识目标；(2)
(2)培养学生抽象概括的能力；
(3)培养学生多角度思考和解决问题的能力。
3、情感目标
师：大家看，这张图片是埃及的金字塔，从这个塔中你能找到哪些几何图形？
生：棱锥，三角形……
师：对了，像这样（手指金字塔的一个侧面），塔的一个侧面就是一个三角形。同学们，假如你现在就在金字塔下，而且有用于测量角的量角器，出于对文化遗产的保护，在不允许攀爬的情况下，你能想办法知道塔尖处这个侧面角（指出要求得角）的度数吗？谁能想到？
生1：用量角器量出这个塔侧面的两个底角的度数，然后用180°减去这个底角的度数的和，就得出塔尖处角的度数。
师：也就是这里你用到了小学学习过的三角形三个内角的和等于180°的结论，
那你能否回忆起当时我们是通过什么方法来验证这个结论呢？
生1：通过去测量给出的每个三角形的三个角的度数，然后加起来，结果都等于180°，进而得出这个结论。
师：非常好。请坐。
师：但是这里有个疑问，度量的结果是否准确无误？我们也知道形状不同的
三角形的个数有无数个，能用度量法一个个去测量验证吗？
生：应该不行……
师：除了测量，其实我们也可以用实验的方法来验证。
（二）动手操作
师：请各个小组把准备好的三角形纸板拿出来，然后将其中两个内角剪下，跟剩下的那个内角拼合在一起。
师：拼合的方法有几种？拼合之后得到一个什么角？请小组的代表来跟我们说一下。
组1：两个角拼在第三个角的两侧，得到一个平角。
组2：两个角拼在第三个角的同一侧，得到一个平角。
师：还有没有其他的拼合方法？
组3：好像就是这两种情况。
师：那么按照这两种情况，我在黑板上来进行操作，给出两种可能的拼合结果。
师：两个角拼在第三个角的两侧，如图1，将∠B和∠C拼到∠A的两边，顶点重合，观察到三个角拼合成一个平角；两个角拼在第三个角的同一侧，如图2，将∠A和∠B剪下，拼到∠C的右边，三个角拼合在一起也给我们平角的印象。
A
BC
（图1）
师：所以，通过实验，我们也可以得到一个什么结论？
生：三角形三个内角的和等于180°。
师：这个结论是我们对这个三角形三个内角进行拼合的结果，它是否对任意三角形都成立？
生：应该能。
师：接下来我们要做的，就是透过实验的过程，来找出证明这个结论成立的思路，一旦结论得到论证了，它才是适用于任意的三角形。
（三）定理证明
师：我们以黑板上这一种拼合方法来分析定理证明的方法。我会将大家的操作过程以动画的形式重现，一起来寻找证明的切入点。
师：（PPT）已知：△ABC(任意的一个三角形)
(我们要)求证：∠A+∠B+∠C=180°(即三角形的内角和等于180°)
A
BC
（PPT）动画演示
EAF
BC
师：大家观察，当∠B移到∠C的左边，一条边与AB重合，另一边，我们取名为AE，它与BC有什么位置关系？
生：平行。
师：为什么？
生：内错角相等，两直线平行。
师：这里内错角是哪对？
生：∠B和∠BAE。
师：看第二个问题，当∠C移动到∠A的右边，一条边与AC重合，另一边，我们取名为AF，与BC有什么位置关系，为什么？
生：平行，∠C与∠CAF相等，所以AF平行于BC。
师：也是根据内错角相等，两直线平行。
师：很好，也就是我们将∠B和∠C移动到∠A两侧后，它们各有一条边与BC平行。我们要证明∠EAF是一个平角，其实就是要证明AE与AF在同一直线上，你能根据已学的知识来证明这一点吗？
（生思考）
师：AE、AF有什么共同的特点？
生：它们都与同一直线BC平行。
师：还有吗？
生：它们都经过直线BC外的一点A。
师：那经过点A，且与BC平行的直线有多少条？
生：一条。
师：为什么？
生：经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
师：这是平行公理。但是这里，明明有两条直线，AE与AF都与BC平行，这说明什么？
生：AE与AF必须在同一直线上。
师：非常好。AE与AF在同一直线上，说明∠EAF是一个平角。
师：也就是，在实验过程中，我们得到了一条很重要的直线，它是由三角形两个内角移动后得到的，这就是给我们提示，要证明三角形三个内角的和等于180°的结论，需要过一个角的顶点作一条辅助线。A
（PPT）证明：如图，过点A作直线EF，使EF∥BC。
因为EF∥BC，
所以∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）.B图3C
同理∠2=∠C.
因为∠1，∠2，∠BAC组成平角，
所以∠1+∠2+∠BAC=180°（平角定义）.
所以∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）.
描述的。A
（板书）三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°。
BC
几何语言：如图，因为∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，
师：至此，结论便得到了证明，我们叫这个结论为三角形内角和定理，它的几何语言是这么
所以∠A+∠B+∠C=180°。
师：以上是我们根据拼合方法一得到的证明定理的方法，它启示我们怎么根据拼合方法二来证明，所以，请大家利用课后时间认真思考定理证明的其它方法。
（四）定理运用
1、课堂练习
师：三角形内角和定理在数学学习中有很广泛的应用，同时，升上初中，这个知识点将会跟其它知识结合起来综合运用。我们来看以下两道题。
(PPT)①如图4所示，在△ABC中，∠B=40°，
∠A=60°，则∠C=________。
图4图5
师：很简单，大家一起来。
生：80°。
师：为什么？
生：根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，
所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°。
师：再来看这道题。
②如图5所示，已知AB∥CD，OB和OC分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，
则∠BOC=。
师：哪位同学来回答？
（生2举手）
师：你根据什么来求解？
生2：三角形内角和定理。
师：把∠BOC看做一个三角形的内角。
生2：是。
师：在哪个三角形？怎么来求？
生2：在△BOC中，∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-90°=90°。
师：180°-90°，这个90°怎么来的？
生2：90°是∠1和∠2的和。
师：∠1+∠2如何求？
生2：根据已知条件，因为AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD=180°，
又因为OB和OC分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，
所以∠1+∠2=（∠ABC+∠BCD）=90°。
师：那从已知条件中，能否分别求出∠1，∠2的度数？
生2：不行。
师：请坐。大家看，这道题跟前面那道题的不同之处是，利用三角形内角和定理求第三个角时，如果只知道三角形另外两个角的和，也能求得。
师：所以，这两道题给我们提供了求三角形一个内角的两种方法。
2、例题如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
师：这是一道跟航海有关的实际问题，大家跟随着问题来思考，请大家先把题目齐读一次。
（生齐读）
分析问题1：题中已知的角是指图中的哪些角？
师：C岛在A岛的北偏东50°方向，可得哪个角的度数？
生：∠1=50°。
师：还可以由题意得到哪些角的度数？
生：∠DAB=80°，∠CBE=40°。
师：好，所有的已知角都在图中找到，请看第二个问题。
问题2：要求的∠ACB可以看做哪个图形的内角？
生：看做△ACB的一个内角。
问题3：∠ACB作为△ABC的一个内角，有哪些途径可以来求解？
师：这个问题，能让你回想起什么？
生3：由前面两道题可以想到有两种方法，即分别求出∠3，∠4的度数，
或者求出∠3与∠4的度数的和。
师：那根据已知条件，这两种方法在这里是不是都可以用上？
生3：是的。
师：这位同学掌握得很快，很好，请坐。
师：那我们就通过分别求出∠3，∠4这种方法来求解。
师：∠3可以看做哪些角的和或差来求？
生：∠3可以看做∠DAB-∠1=80°-50°=30°。
师：那∠4看做哪些角的和或差呢？
生：∠4可看做∠ABE-∠CBE。
师：∠CBE=40°，已知，但∠ABE的度数怎么求？
生：因为AD与BE平行，所以∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°。
师：利用两直线平行，同旁内角互补。所以∠4也就能求出。
师：请大家根据上面的分析，给出这道题规范的几何证明过程。
（生写题，师巡看）
师：大家基本都会写，但是还是要注意几何语言的严谨和规范，我这里给出这种方法的证明过程，另一种方法的求解大家课后仿照该过程去整理。
解：因为∠BAD=80°,∠1=50°,所以∠3=∠BAD-∠1=80°-50°=30°.
因为AD∥BE,所以∠BAD+∠ABE=180°.即∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
因为∠ABE=100°,∠EBC=40°,所以∠4=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°
答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°。
（PPT）拓展：这道题还有没有其他解法？
师：大家很明白，解决一个问题往往不止一种方法，特别是在数学学习中，这就要求我们要发散思维，从多个角度看待和思考问题，灵活运用已学知识。
师：这道题除了上面两种方法外，你觉得还能如何求解？
师：一时似乎看不出。如果我将原图中的线段AB省略，得到的这个图形熟悉吗？
生3：哦，加一条线。
师：在哪里加一条什么线？
生3：过点C作一条平行于AD的线就可以了。
师：大家说对不对？
生：对。
师：那这个图形大家在哪一章节经常看到？
生：相交线与平行线一章。
师：看来大家都有用心在学。没错，就是这个图形，那作了这样一条辅助线之后怎么来求解？生3你继续把思路讲给大家听。假设这条线叫CF。
生3：因为CF与AD平行，AD又与BE平行，根据平行于同一直线的两直线平行，可得
CF∥BE。CF便将∠ACB分成两个角。
师：好，就叫∠1和∠2.
生3：由已知条件，∠DAC=50°，∠CBE=40°。
利用两直线平行，内错角相等，可知∠1=∠DAC=50°，∠2=∠CBE=40°，
则∠ACB=∠1+∠2=50°+40°=90°。
师：大家听明白了吗？、
生：听明白了。
师：给点掌声鼓励。
师：这道例题不止让我们知道一题往往多解，还让我们重温了很多前面的知识。
虽有点复杂，但认真去解答，我们必将受益。
（五）练习巩固
（课堂练习——课本P74）
师：请大家打开课本74页，里面两组的同学完成第一题，外面这两组同学完成第二题。
1、如图8，从A处观测C处时仰角∠CAD=30°，从B处观测C处时仰角
∠CBD=45°，从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少？
2、如图9，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，
∠B=∠D=40°，求∠C的度数。
师：请小组代表到黑板上来完成。
（六）课堂小结
1、我们通过什么方法得到三角形内角和定理？
2、我们怎样去证明三角形内角和定理？（证明的切入点）
3、这一节课你最深刻的体会是什么？（哪些地方或题目给你印象最深）
（七）作业布置
必做题：1、课本76页第1题
2、《全效学习》配套基础练习
选做题：如图10，在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是角平分线,
求∠A与∠ADB的度数。
板书设计
六．教学评价
贯穿一个原则——以学生为主体的原则
培养一种能力——多角度思考问题的能力
贯彻一个理论——建构学习理论
渗透一个意识——应用数学的意识
A
B
C
图2
40°
A
C
B
60°
A
C
O
B
D
1
2
80°
4
50°
1
3
图6
北
C
B
E
A
D
北
50°
图7
北
C
B
E
A
D
F
40°
1
2
A
B
图8
C
C
B
A
150°
40°
40°°
图9
D
几何语言：如图，
因为∠A，∠B，∠C
是△ABC的内角，
所以∠A+∠B+∠C=180°。
例题
定理运用练习题
A
B
C
巩固练习
作业布置
7.2.1三角形的内角
三角形内角和定理
三角形三个内角的和
等于180°
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