58 材料粘弹性（一）：粘弹性相关基础知识与Prony级数

粘弹性材料的相关基础理论

对于一些无定形高聚物（Amorphous Polymers），其力学响应会随着温度的变化而变化：

1 在玻璃态转变温度以下，材料的力学响应与弹性体类似；

2 在玻璃态转变温度以上，材料的力学响应与超弹性体（比如橡胶）类似；

3 如果温度更高，材料则会表现出类似粘性流体的性质。

当这种无定形高聚物的温度达到玻璃态转变温度以上时，材料所表现出的类似弹性体和粘性流体的联合特性，称为材料的粘弹性。

粘弹性材料有两个重要的影响材料响应的属性：时间和温度。粘弹性材料的响应是时间相关的。通常，可以把粘弹性材料的应变拆分成弹性部分和非弹性部分，弹性应变的应变是可恢复的，而且是在卸载之后立刻恢复；但是，非弹性的粘性应变是不可恢复的，在整个时间历程中都会存在。既然粘弹性材料的响应是时间相关的，那么加载速率对结构响应也同样会有影响。应变率降低，体积模量和剪切模量也会跟着下降，此时，粘性响应是其材料性能的边界；反之，应变率提高，体积模量和剪切模量也会跟着上升，此时，弹性响应将是其材料性能的边界（如下图所示），所以，材料响应其实是随着应变率的变化而变化，但是，不会超出其纯弹性和纯粘性的范围。此外，有些材料的响应也（有可能）是温度相关的，温度会带来材料的松弛效应。

图1 粘弹性材料的响应区间

粘弹性材料的本构关系通过应力应变历程来描述，可以将其表述成类似下式的遗传积分（HereditaryIntegral）的形式：

 

应力被拆分为偏斜项和体积项。剪切模量G(t)和体积模量K(t)是松弛函数，通过Prony级数来表征。而温度的影响可以通过两种方式来考虑，定义不同温度下的Prony级数来描述G(t)和K(t)，或者通过时温等效的方式（Thermorheologically Simple: TRS）来进行描述。

如果将粘弹性材料看成是弹簧与阻尼的组合，那么会有以下几种形式：

1 Maxwell模型：由一个弹簧和一个阻尼串联组成；

2 Kelvin (Voigt)模型：由一个弹簧和一个阻尼并联组成；

3 标准线性模型：由两个弹簧和一个阻尼组成。

 

图2 几种粘弹性材料的物理理论模型

前文有提到，仿真中通过Prony级数来描述松弛效应，它是一种广义的Maxwell模型。之所以说它是一种广义的Maxwell模型，是因为用户可以定义多项级数，而项数即为阻尼的个数，所以，仿真中的Maxwell模型其实是有多个串联的弹簧阻尼系统并联而成的，如下图所示。

 

图3 Prony级数所表征的广义Maxwell物理理论模型

Prony级数

如前文所述，粘弹性材料的剪切模量G(t)和体积模量K(t)表示成以时间为变量的Prony级数。

 

 

其中，τ_i（上标为G或K）为每个Prony级数项的松弛时间，G_∞和K_∞分别表示时间趋向无穷时的一个无限时间跨度下的模量趋近值，即表示当时间持续足够长时，模量将恒定在一个值而不再变化。

为了更加方便地将松弛效应下的模量描述在Prony级数中，我们引入了相对模量地概念，其定义如下式所示：

 

 

这样，G_t和K_t可以写成如下式的形式：

  

这样，作为输入的α_i和τ_i带入到级数表达式中，即可以表征各模量。其中，G₀和K₀分别表示的是瞬时的剪切模量和体积模量，即无松弛效应这部分响应的贡献；而G_∞和K_∞分别表示的是考虑松弛效应的剪切模量和体积模量的一个极限值（时间无穷大）。

例子1：如下图所示，如果G_∞为G₀的50%，Prony级数仅有一项，为α₁=0.5和τ₁=20。

 

图4 例1模量松弛曲线

那么，在t=20s时，模量应为：

 

例子2：如下图所示，如果G_∞为G₀的20%，Prony级数有两项，分别为α₁=0.5和τ₁=20，以及α₂=0.3和τ₂=70。

 

图5 例2模量松弛曲线

那么，在t=20s时，模量应为：

 

在t=70s时，模量应为：

 

理论上，所有的α系数相加之后应小于等于1，如果等于1，则表示模量在时间趋于无穷时为零。此外，在仿真中，还可以定义不同温度下的不同的α_i和τ_i值，即可以考虑不同温度对于松弛效应的影响。

下次更新：2021年10月20日
59 材料粘弹性（二）：时温等效假设与迁移函数