【原】模型思考|两种简单非线性模型

为了放松自己，你一般周末会怎么度过？你会选择补觉，看电影，和几个朋友聚会还是带娃？无论是哪种方式，你的爽感都会随着量的增加而增加，但是它们增加的程度会放缓，如果你像我一样，喜欢看电影，看一部提升的幸福指数如果是10，连着看第二部带来的幸福增量可能只是8，第三部的增量可能是6，也就是经济学中常说的"边际效用递减"。

也就是每增加一定数量东西，给你带来新增收益不是线性增加，而是逐渐递减的，这是一种典型的非线性现象。在模型思维|线性模型我们分享了线性模型，但现实世界中很多现象是非线性的，而描述这些非线性现象的模型有很多，本文和你分享其中最常见的两种：凸函数模型和凹函数模型，以及它对我们的启发。

1 凸函数摸型

什么是凸函数模型？凸函数的斜率是递增的，如下图所示。最典型的就是指数增长，比如按照下面这个公式：

可以利用这个方程推导出“72法则”：

这个法则告诉我们快速推断一个量翻倍所需要的时间，比如说你的资产年增长率是10%，那么翻一倍需要的时间大约是7.2年 ；这个模型还可以用于估计细菌的繁殖速率，人类鼻窦中的细菌，它们以每分钟4%的速率在繁衍，那就意味着每20分钟左右的时间它可以翻一倍，一天的时间，它可以繁衍出10亿的子孙后代。

人口学家还可以用这个模型研究人口发展，最著名的莫过于英国的人口学家“托马.斯马尔萨斯”,他在1798年就用模型指出，人类的繁衍是指数型的，但是我们粮食生产能力确实线性的，而这会导致人类是无法养活自己，这就是所谓的"马尔萨斯陷阱"。

当然，我们现在知道，鼻孔中细菌数量不会无限增多，马尔萨斯陷阱也没有发生，为什么呢？对于前者，因为鼻窦的空间有限，没有空间时，增长就会停止。

关于马尔萨斯陷阱，他还没有预计到两点：人类的出生率下降了，此外，技术进步带来粮食增加并不是一个线性的。

2 凹函数摸型

和凸函数摸型相反，凹函数摸型的斜率是递减的，如下面这个曲线，它的斜率是逐渐变小的，最后甚至可能处于一个平衡的状态。在《模型思考》中介绍了用该模型来分析经济增长，具有很好的解释力。

2.1 柯布-道格拉斯模型

关于经济增长有两个著名的模型，最早期的是柯布-道格拉斯模型，它的公式如下：

这个模型将经济增长简化为和两个因素相关：劳动力和资本，α指的是劳动力，书中用椰子生产为例，说明了用该模型预估的增长曲线如下图所示：

从图中会发现，产量的增长开始很快，后来逐渐放缓，最后会慢慢接近于一个平衡点，这个平衡点也就是长期增长的均衡点，它通常出现新机器的投入和折旧之间相等的时候。

2.2索洛增长模型

但是，这个模型当中没有考虑技术的影响，在此基础上升级的模型是索洛增长模型，它的公式，这个模型认为技术水平（A）可以线性的增加产出，而技术水平和创新相关，通过产出模型，可以推倒出长期均衡产出点。

其中A是技术水平，s是储蓄率，d是折旧率，L是劳动力。从这个模型中，能够很好的得出以下几个结论：

①长期均衡产出随劳动力和储蓄的增加而线性增加；

②均衡产出和折旧率之间是凸性的，折旧率降低20%，可以带来产出25%的增加；

③长期均衡会随着技术水平改进而平方增加。

第③条是个关键，这意味着了创新增加的产出比线性更快。为什么会是这样？《模型思考》中给出了两个解释：第1个是因为技术增长会直接带来产出的增加，另外，是因为技术的增长导致会有更多的投资增，从而形成了"创新乘数效应"（innovation multiplier）”。

但是，这里必须要强调创新所带来的增长具有一定的滞后性，举个例子，比如火车其实是在19世纪早期就出现了，但是它所带来的"镀金时代"要过了半个世纪之后才出现，阿帕网(互联网的前身)出现了整整30年之后，互联网才进入繁盛时期。

2.3 中国的增长

通过这样的一个模型，其实还能够很好的解释中国的快速增长。在中国发展的早期，因为还远没进入长期产出均衡点，也就是还没进入增速放缓的阶段，这个时候，无论是投入资本还是投入人力，其实都能够使经济高速增长，但是经过一段时间，增速会逐渐下降（凹型曲线），现在下降为6%，虽然这个增长率还会持续一段时间，但如果没有重大的技术突破，大概率会进一步逐渐放缓，而从模型中，我们发现技术创新是个重要的提升增长上线的路径，所以这也是我理解，为什么国家现在非常提倡和鼓励创新，因为相对于其它的变量，技术创新具有乘数效应。

3 凹凸对我们的启发

上面介绍的这两种曲线对我们自己有什么启发呢？我理解有三点：

3.1 多元化享乐

因为存在边际效用递减，所以在享乐的时候，我们可以采取多元化配置的方式，比如周末的时候，可以选择多种休闲方式，额不是一个，比如穿插看电影，陪家人，独处和约朋友，这样综合的效果要比享受单一事物乐趣更多。

4.2 主动掌握技能

在稻盛和夫的《干法》中提到一个通俗的比喻，如果你的工作是做清洁，你不仅要认真做好这一次，也要去想怎么更好改进方法，比如上一次用拖把，这次可以不用吸尘器。我们做事情的时候，也是一样，为了提高产出，一方面我们可以投入更多的时间，还有一个重要的方面就是不断改善自己做事方式。

比如主动去掌握新的方法和技巧，我认为这里也存在两层效应，一方面通过学习掌握新的技能和方法，能让你更高效做好现在的事情，帮你节省时间；另一方面，当你主动学习和掌握技能，也会提高你掌握技能的能力（也就是元能力），比如大量阅读，不仅提高你的阅读量，也会提高你的阅读速度。

4.3 保持耐心

技术水平提高带来增长会有滞后效应，就像我们现在掌握一些知识和技能，并不是所有都会有立杆见影的效果，但是随着时间发酵，它的价值会慢慢释放，我们需要耐心。

总结

现实世界毕竟是非线性的，本文介绍的凸函数和凹函数是描述非线性最基本的两个模型。最典型的凸函数是指数增长，我们可以通过72法则估算一个量增长一倍需要的时间；

索洛模型，能够让我们更加深刻理解，人力，储蓄和技术水平，虽然都能影响长期均衡产出，但是他们的效果曲线是不同的，前两者是线性的，而后者是平方关系，这也间接说明，为什么国家大力鼓励技术创新；

两种非线性对我们的启发是：多元化享乐，主动掌握技能和保持耐心。