教学研讨｜4.1数列的概念 第1课时（2019版新教材）

导读：

本节教材呈现了“事实—概念—表示”的数学抽象过程。

具体如下：

首先，分别从现实生活、数学史和数学中选择了一个反映数列本质特征的典型例子,并对前两个例子进行了详细分析，展现了从实例抽象出数列共同特征的过程——引入统一的数学符号（h_i或s_i）表示数列中的数，并揭示下标i的数学含义，即下标i表示数列中的数按一定顺序排列时的确定位置,这就从数学的角度说明了数列中的数是不能交换位置的，从而得到引例的本质特征“具有确定顺序的一列数”;

然后，为了促进学生理解，教材让学生模仿上述分析过程，自己分析实例的特征;

最后，引导学生从具体例子中归纳出它们的共同特征，得到了数列的定义。接下来，用数学符号表示数列，得到了数列的一般形式a₁，a₂，…a_n，基于对这个一般形式的分析，揭示了数列的序号与项之间的对应关系本质上是函数关系，得到了“数列是一种函数”

 

怎么教？

 

在教学数列的概念时，一定要让学生经历“背景的分析和共性归纳——下定义——数学表达——概念辨析”的全过程： 

首先,对数列实例的分析以及对实例共同特征的归纳，是从直观的一列数过渡到数列的数学定义的关键步骤。教学中要重视对实例的分析过程，可以如教材那样，用集序号与取值于一身的符号h_i或s_i等表示数列中的项，以利于学生概括出“具有确定顺序的一列数”的结论。要让学生在具体实例的分析中，充分认识“数的顺序不可交换”。

其次,教学中要让学生在对实例有充分感知的基础上,再引导学生给数列下定义。

再次，数列的描述性定义“翻译”成数学表达，是数学概念抽象过程中不可或缺的环节。教师可以引导学生结合前面三个实例的分析过程，思考如何用数学的语言刻画“确定的顺序'，引出用数学的方法表示顺序的技巧,从而得到数列的一般形式。

最后，对数列的定义进行辨析，发现数列每一项的序号与项之间的对应关系，得到数列是一种函数的结论。

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

   1.数列的定义

    教材通过对具体实例共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念，具体地，教材举了三个例子，并先对前两个例子进行了详细的分析，析出数列具有“确定的顺序”的特征，再让学生仿照前两个例子的分析过程对第三个例子进行分析，其中，

第一个例子取自学生熟悉的生活情境——把王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量的身高依次排列组成一列数，对这列数的分析实际上是用“数学的眼光”来看事物，用“数学的思维”探究其中蕴含的规律的一种示范，由于这列数中的每一个数都表示王芳每年生日那天的身高，所以可以用统一的符号h_i来表达它们共同的意义，进一步地对下标进行分析，可以发现它既表示王芳的年龄是“i”岁，又表示i所对应的身高h_i在这一列数中处于第个位置，这就是说，这一列数中的每个数的位置是确定的，它们之间不能交换位置，从而我们可以得出这是按确定的顺序排列的一列数，

对于第二个例子，教材进行了完全类似的分析，其目的是让学生体会在不同情境下如何通过引入符号表示，分析符号的含义，揭示数列“具有确定顺序”的特征。这个例子是古代巴比伦泥版上记录的月相变化的一列数，是古巴比伦人用一列数记录事物变化规律的有趣例子.

第三个例子是按照一定的数学规律生成的一列数，这列数不仅数值在变化，正负号也呈现出奇偶交替的变化.对于第三个例子，教材设计了一个思考栏目，要求学生仿照对前两个例子的分析过程，说明这列数也具有确定顺序的特征。至此，学生对数列“具有确定顺序”的特征应有了比较深入的认识.于是，教材接着安排了一个归纳栏目，让学生归纳上述三个例子的共同特征.

接下来，教材给出了数列的定义——按照确定的顺序排列的一列数称为数列，从这个定义出发，结合前面对三个引例的分析，可以引导学生得到从数学上刻画数列的方法：数列是可以用正整数按照数列中每个数所处的位置进行编号，并按编号从小到大的次序排列起来的一列数.由此，就得到了数列的一般形式的表达式：

   2.数列是一种特殊的函数

   在“预备知识”中，学生经历过从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，本节再次让学生从函数的观点看另外一个数学对象——数列，从而进一步认识数学对象之间的联系，体会数学的整体性。此外，把数列纳入函数的范畴，既有利于类比函数的研究路径学习数列，又可以从函数的观点出发，用运动变化的观点并借助图象直观研究数列的一些问题，以便更深入地理解数列的性质.

 教材根据数列的定义说明了“数列是一种特殊的函数”.事实上,对于数列(或它的有限子集),都有唯一确定的与之对应,因此数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数,其中自变量为数列的序号n,对应的函数值为第n项,这是非常容易理解的,而且用函数的观点看数列也有助于理解数列的本质.很多数学书籍都是以函数的语言定义数列的,例如,《中国大百科全书:数学卷》中关于数列的定义是这样的：如果D为全体自然数的集,则称函数为一个数列.通常把这种函数的函数值用同一字母（例如a）附加体现自变量的值的下标的方法加以表示:,称为数列的第一项,为数列的第二项等等,为通项.数列本身则通常写作,或简记作.

3.数列的性质与表示方法

   在得到“数列是一种特殊的函数”后,教材随即通过类比函数的研究,介绍了用表格和图象来表示数列的方法.其中,表格法的优势是不仅明确地列出了数列中的每一项,而且表示出了序号与项的对应关系;而在直角坐标系中画出数列的图象,则使数列中项的变化趋势一目了然.

类比函数的单调性,教材给出了“递增数列”“递减数列”和“常数列”等概念.对于数列的其他特殊性质，教材将结合等差数列、等比数列展开研究.

   教材类比函数的解析式,给出了通项公式的概念,将它称为“数列的函数解析式”.与函数不一定存在解析式类似,数列也不一定存在通项公式.本套教材必修第一册第67页的例4要求学生用函数的三种表示法表示自变量取离散数值的函数,实际上已经渗透了数列的三种表示法.教学中可以让学生回顾这道例题,进一步体会函数与数列的联系.

    数列的通项公式是描述一个数列取值规律的基本而重要的方法,教材通过例题对数列的通项公式进行了重点研究.其中,例1要求学生根据通项公式,写出数列的前5项并画出数列的图象,一方面是通过“求函数值”使学生进一步熟悉通项公式的定义,另一方面则是为了让学生进一步养成用函数的观点与方法处理数列问题的习惯.教学时可以告诉学生,对于一个给定的数列,写出它的几项,并画出草图,是进一步认识这个数列的一种方式.

   例2的过程与例1相反,要求学生根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.因为以为前4项的数列可以有无数个,并且也有不止一个的代数式,使成立,所以这里只要求写出“一个”通项公式.

    像例2这样的问题,要求学生概括数列的已知项的共同特征,发现数列的取值规律,并用适当的式子表示规律,需要学生有较强的观察力、有一定的用式子表示规律的经验.题目有较强的灵活性,难度也较大.因为这里的主要目的是让学生进一步理解通项公式,所以教材仅给出了规律明显、容易刻画的几个数列作为例题和习题.教学时应注意提醒学生,用表示正负相间的变化规律,是一种常用的方法.