【原】高中数学题型技巧5　利用导数证明不等式

高中数学题型技巧5　利用导数证明不等式

题型一 将不等式转化为函数的最值问题

思维升华　待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．

跟踪训练1　(2020·武汉调研)已知函数f(x)＝ln x＋a/x，a∈R.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较

例2　已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明：xf(x)－e^x＋2ex≤0.

思维升华　(1)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x与e^x，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．

(2)在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)_min＝f(x)_max恒成立．从而f(x)≤g(x)恒成立．

跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax²－xln x.

(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若a＝e，证明：当x>0时，f(x)<xe^x＋1/e.

(1)解　由题意知，f′(x)＝2ax－ln x－1.

故原不等式成立．

题型三 适当放缩证明不等式

例3　(2020·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ae^x－1－ln x＋ln a.

(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

综上，a的取值范围是[1，＋∞)．

[高考改编题] 已知函数f(x)＝ae^x－1－ln x－1.

(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.

(1)解　当a＝1时，f(x)＝e^x－1－ln x－1(x>0)，

即证f(x)≥0.

方法二　令g(x)＝e^x－x－1，

即证f(x)≥0.

方法三　f(x)＝ae^x－1－ln x－1，定义域为(0，＋∞)，

即f(x)_min＝f(x₀)≥0，故f(x)≥0.

思维升华　导数方法证明不等式中，最常见的是e^x和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对e^x和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下：(1)e^x≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号.(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．