“ 双曲守恒律是偏微分方程领域里的一大分支，从其名称来看，自然是隶属于“双曲型”偏微分方程。笔者目前的研究方向正是双曲守恒律，它基于物理中的守恒关系，比如质量守恒、能量守恒、动量守恒。其实，流体力学中的一些方程也是体现了上述的守恒关系。如果读者感兴趣的话，不妨学习一下Euler方程和Navier-Stokes方程，从某种角度来看，Euler方程可以看作是Navier-Stokes方程当粘性趋于0时的极限。 我们考虑的守恒律方程初值问题如下: 我们一般要保证上述方程是严格双曲型方程，此外还要假设初值是有界，并且局部有界变差函数。有关于上述方程初值问题的解的基本理论，一般是有以下术语将其串联起来的:
上述基本术语大体上将双曲守恒律方程的基本特征描述出来了，但是落实到真正的数学理论则是不容易理解的。光是可容许解的基本定义就有好几个，它们的定义方式往往是不尽相同的，此外即便是存在可容许解它们往往是不唯一的，因此如何寻找一定的条件使得可容许解唯一则成了一个不容易的课题。 在讨论可容许解之前，我们有必要说明一下双曲守恒律方程解的存在性如何保证。事实上，在目前的教材中，关于解的存在性至少给出了三个证明过程，它们分别是:
利用Lax-Friedrichs格式证明Lax-Friedrichs格式是我们常见的数值计算格式中的一种，特别是，当你学习到有限差分格式时，Lax-Friedrichs格式是少不了的。如果你感兴趣的话，你应当会想知道如何建立数学物理方程中三类方程的差分格式，并且利用MATLAB等工具达到数值计算的目的。在这里，Lax-Friedrichs格式也可以用来证明守恒律方程解的存在性定理，只是过程略长，需要6页多内容。 利用Glimm格式证明Glimm格式是数值计算的一个有效方法，它在解决解的渐进性方面起到了不小的作用。如果针对方程组的存在性问题，Glimm格式往往能够施展它自身的本领。当然，它的能力也是有限的，往往只能处理以下两类方程:
其实学习双曲守恒律理论的朋友，往往要读Alberto Bressan的教材《Hyperbolic Systems Conservation Laws》，当然这本教材是英文书写的，往往要看到英文单词“small data”，其实也就是所谓的“小”初值。另外，值得一提的是，Alberto Bressan的这本书其实主要说的一维方程的柯西问题，这也是该书的一个子标题。 言归正传，Glimm格式如何证明守恒律方程的可容许解的存在性呢?
利用补偿列紧方法证明补偿列紧方法主要是从泛函关于弱收敛序列的连续性角度出发的，其基本思想还是带有点泛函分析的意味。最起码，要对弱收敛和强收敛有一定的了解，至少我很多时候是记不大清楚基本概念的。
参考文献应隆安,滕振寰.双曲守恒律方程及其差分方法,科学出版社,1991. ★ 文稿&编辑:小朱 |
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