【原】闭区间上的连续函数相关性质和简单习题

吾自穷乡僻壤而来，亦知求学之艰苦万分。然吾数十年读书光阴，已表吾之初心。虽前方险难重重，也未改吾之心也。

最值定理

“

在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.

”

即:设,则,使

若函数在开区间上连续,或在闭区间内有间断点,结论不一定成立.

在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.

零点定理

,且至少有一点,使得.

介值定理

,且,,,则对与之间的任一数,至少有一点,使

Remark:介值定理的证明过程有赖于零点定理，可以参考教材去处理。

1.设,证明至少存在一点,使

提示:令则,易证.

2.证明至少有一个不超过4的正根.

解:令,显然在闭区间上连续,且

根据零点定理,在开区间内至少存在一点,使,原命题得证.

3.证明方程在区间内至少有一个根.

解:显然,又

根据零点定理,至少存在一点,使,即 

设,则

• 在上有界;
• 在上达到最大值与最小值;
• 在上可取最大与最小值之间的任何值;
• 当时,必存在,使.