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近日科学出版社寄送来一本关于微分几何方面的图书——《微分几何简明教程》，作者是复旦大学嵇庆春教授。从这本书的书名来看，顾名思义，这本书是对微分几何理论的一个较为言简意赅的全面介绍。 图1：《微分几何简明教程》封面 熟悉大学数学系基础理论课程的人应当知道，微分几何是大学数学系的一门后继课程，其所需要的理论基础知识包括但不限于数学分析、高等代数以及解析几何理论。事实上，在解析几何课程中我们就要研究曲线和曲面的一些基本知识，那么为了刻画曲线和曲面的几何形状与弯曲程度，就有必要引入所谓曲率的基本概念。 通常意义上讲，微分几何课程内容包括有：
在一般的微分几何教材中，往往很难将曲面的局部几何性质自然地过渡到整体几何性质，然而眼下这本书很明显地做到了这点。正如序言部分胡和生院士所提到的那样: “ 图2：胡和生院士所作《微分几何简明教程》序言部分 下面就由笔者隆重地介绍这本书的目录部分。 图3：《微分几何简明教程》部分目录 本书的目录部分分为12章，其中前四章主要介绍曲线论的基本知识:
上述四章分别从基本概念和基本定理出发，较为简洁并且开门见山地叙述了基本知识点。尤其是第3章的相对曲率部分，使用了映射提升定理更是让笔者大开眼界。 从第5章开始到第10章部分，作者主要介绍了曲面面的局部几何性质。作者不失分寸地依次阐述了曲面论的基本概念(第5章)、几类特殊曲面(第6章)、曲面上的曲线(第7章)、两类特殊参数化(第8章)、曲面论基本定理(第9章)以及极小曲面(第10章)等内容，单独成立一章构成了书中的6个章节内容。 让笔者感到印象深刻的是，作者在第9章阐述曲面论基本定理时，表明了需要事先研究由标架运动方程确定的微分方程组，因此对于这样一个偏微分方程组，我们就有必要考查它的相容性条件。事实上，这一部分也体现出来微分几何课程与偏微分方程课程理论的一个巨大联系之处，让读者读起来觉得数学分支之间并不是孤立存在的，相反，它们是密切相关的。 同样在数学分支密切联系的体现方面上，第10章也显得尤为突出。作者在讨论极小曲面部分上不落俗套，较为新颖地用复分析的方法讨论了极小曲面的局部共形参数化、极小图的Bernstein定理、Weierstrass 表示。正如书中所提及到的， “ 从局部几何性质的旅途中归来，我们辗转就到了整体几何性质部分。作者在第11章中就展现了曲面的整体描述，尤其是着重介绍了整体的Gauss-Bonnet公式。值得注意的是，作者事先在第7章中就介绍了局部的Gauss-Bonnet公式，而要想顺利地拼接为整体的Gauss-Bonnet公式，有赖于所谓的紧曲面的三角剖分。然而，这里引出来一个很自然的问题，我们如何说明紧曲面上总是存在三角剖分的呢？ 图4：三角剖分 关于这个疑问，第12章(内蕴距离与三角剖分)给出了较为满意地回答，作者用了微分几何的方法完成了上述问题的证明。事实上，上述问题其实涉及到拓扑学上的一个著名定理——Rad定理。 以上是关于这本书的一些个人观点，尽管本书是一本优质的微分几何教材，然而缺点也是有一二的。比如，本书的图形略微有点少了，不太能让初学者比较直观地看出问题的关键所在。然而，瑕不掩瑜，本书非常值得大家仔细研读。 |
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