一个大风子 / 初中 / 中考数学压轴题分析:倍长中线

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中考数学压轴题分析:倍长中线

2021-11-26  一个大风子

本文内容选自2021年丹东中考数学几何压轴题。以正方形为背景考查半角模型,构造旋转辅助线证明结论。模型比较常规,问法比较新颖。


【中考真题】

(2021·丹东)已知,在正方形中,点为对角线上的两个动点,且,过点分别作的垂线相交于点,垂足分别为,设的面积为的面积为的面积为

图片

(1)如图(1),当四边形为正方形时,
①求证:
②求证:
(2)如图(2),当四边形为矩形时,写出三者之间的数量关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若,请直接写出的值.


【分析】

(1)①根据AAS或者ASA进行 证明全等即可。

②由于等腰直角三角形的面积为斜边平方的一半,那么求证S3=S1+S2,也就是证明AM、MN、NC之间的数量关系即可。这个就是典型的45°半角模型,可以考虑将△BNC或△AMB进行旋转,当然,也可以考虑其他的辅助线构造方式,如翻折等等。

(2)由于∠MBN=45°,所以结论始终成立,证法不变。

(3)已知BG与GC的比值,那么求AF与FB的比值就需要m与n进行表示。可以直接设BG=m,GC=n,然后表示出边长BC与AB,设AM为x,表示出MN,再用上题的结论进行化简,得到AF与m、n之间的关系。进而得到结论,难度不大。
【答案】解:(1)①在正方形和正方形中,




图片

②证法1:如图1,连接,则过点,且
由①知












同理


图片

证法2:如图,将绕点逆时针旋转得到,连接


,即在同一条直线上,


,即
中,




,即
都是等腰直角三角形,


是等腰直角三角形,



(2),理由如下:
证法1:如图2,连接于点

图片

四边形是正方形,四边形为矩形,




同理







证法2:如图,将绕点逆时针旋转得到,连接

与(1)②同理可得:


,即
都是等腰直角三角形,


是等腰直角三角形,



(3)解法1:根据题意可设





解法


,则
都是等腰直角三角形,



化简整理,得:,即

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