本文内容选自2021年丹东中考数学几何压轴题。以正方形为背景考查半角模型,构造旋转辅助线证明结论。模型比较常规,问法比较新颖。 【中考真题】 (2021·丹东)已知,在正方形中,点、为对角线上的两个动点,且,过点、分别作、的垂线相交于点,垂足分别为、,设的面积为,的面积为,的面积为. (1)如图(1),当四边形为正方形时, 【分析】 (1)①根据AAS或者ASA进行 证明全等即可。 ②由于等腰直角三角形的面积为斜边平方的一半,那么求证S3=S1+S2,也就是证明AM、MN、NC之间的数量关系即可。这个就是典型的45°半角模型,可以考虑将△BNC或△AMB进行旋转,当然,也可以考虑其他的辅助线构造方式,如翻折等等。 (2)由于∠MBN=45°,所以结论始终成立,证法不变。 (3)已知BG与GC的比值,那么求AF与FB的比值就需要m与n进行表示。可以直接设BG=m,GC=n,然后表示出边长BC与AB,设AM为x,表示出MN,再用上题的结论进行化简,得到AF与m、n之间的关系。进而得到结论,难度不大。 ②证法1:如图1,连接,则过点,且,, 证法2:如图,将绕点逆时针旋转得到,连接, 四边形是正方形,四边形为矩形, |
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