课题：二次函数所描述的关系
设计者:
教材:北大师九年级数学下册
教学内容：§2.1二次函数所描述的关系
教学设想
本节课的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值的方法解决实际问题。
让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值。
在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。
教学目标
（一）知识目标
1、探索并归纳二次函数的定义，能够表示简单变量之间的二次函数关系。
2、经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。
（二）能力目标
1、经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。
2、让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系。
3、能够利用能够利用阐释求值的方法解决实际问题，对于一些实际问题情境，经过观察、分析、归纳，能够列出二次函数的表达是，从中体会函数的建模思想。
（三）情感目标
1、从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
2、把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。
3、通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识。
教学重、难点
（一）重点
1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2、能够表示简单变量之间的二次函数关系。
（二）难点
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
学习者特征分析
本节课是学生接触二次函数的第一节课，在学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上进一步学习变量之间的关系。从直观的现实生活实际例子和物体曲线运动中，引出存在数量之间的两个变量的另一种关系，为以下学习二次函数图像和性质做好准备。学生对前面知识已有所了解，这节课能够更好的为学生学好二次函数图像与性质打下基础。
教学方法
启发、探究式教学
教学媒体
多媒体教学
教学过程
环节 教师活动 学生活动 设计意图 （一）
复
习
引
入 上课提问：
1、什么叫函数?前面学过哪些函数?
投影播放：
2、观察图片，图中喷泉水流所经过的路线以及篮球入篮的路线会某种函数有关系吗? 学生回答：函数概念；一次函数、正比例函数、反比例函数；
然后根据大屏幕回答：图中喷泉水流所经过的路线以及篮球入篮的路线可能与某种函数有关系。 在这个环节中，通过让学生回顾旧知识，激活其原有的知识储备，并适时借助图片做好背景知识的铺垫，引起学生回忆、思考，为新课的学习做好准备。
（二）
新
课
讲
授 1、提出问题
某果园有100棵橙子树，每一颗橙子树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
（1）、问题中有那些变量？其中那些是自变量？那些是因变量？
（2）、假设果园增种x棵橙子树，那么果园现在共有多少棵橙子树？这时平均每课树结多少个橙子？
（3）、如果果园橙子的总产量为y个，那么请你些出y和x之间的关系式.
学生观察大屏幕，小组讨论，组织答案。
将课本上的问题显示在教学平台，给学生更多的思考空间。让学生分组讨论、合作交流，鼓励学生用自己的方法解决问题。针对学生的回答，教师及时给予鼓励。
课堂环节 教学内容 学生活动 设计意图 （二）
新
课
讲
授
2、根据学生回答的情况整理答案：
（1）、变量是橙子的棵树和橙子的个数；
（2）、果园现在共有(100+x）棵橙子树，平均每棵树结(600-5x)个橙子；
、（3）（3）、解：果园现在共有（100+x）棵，橙子树，平均每棵树结(600-5x)个橙子；因此果园橙子的总产量为：
y=(100+x)(600-5x)
=-5x2+100x+60000 观察图片找出答案：
1、橙子树、橙子个数及橙子总数是变量；增种的橙子树是自变量，橙子总数是因变量；
2、现有橙子树（100+x）棵；现有橙子树（100+x）棵；
3、y=
-5x2+100x+60000 在学生回答了以上问题后，将答案显示在大屏幕上，并在此基础上在引导学生思考课本的想一想。 3、想一想
在上述问题中，增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
学生动手完成书本P35的表格。
在这个环节首先鼓励学生用自己的方法解决问题，让学生经历尝试、猜测以及动手验证等过程，通过分组讨论、合作交流，得出解决方案。在此过程中教师适当引导学生。
课堂环节 教学内容 学生活动 设计意图
（二）
新
课
讲
授
4、接着和学生一起了解银行利率的问题。
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式（不考虑利息税）.
学生思考，并提问学生，总结答案：
y=
100x2+200x+100. 在教学平台显示银行利率问题，让学生认真审题，并让学生讲解这笔钱如何存，目的是让学生真正理解题意，通过学生交流得出答案，并给出答案：
y=100x2
+200x+100.
这时教师要让学生学会思考在遇到现实生活问题时，该怎样建立二次函数模型，进而解决实际问题。 5、议一议
例如：
y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100，他们都具有怎样相同的特征？y是x的函数吗？是x的什么函数？
定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做x的二次函数.
这时要对学生特别强调理解二次函数的定义必须掌握以下3点：
提示:
（1）、有两个变量x和y；
（2）、自变量x的最高次数是2；
（3）、a≠0，b、C可以等于零.
学生探索二次函数的概念，得出定义：
形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做x的二次函数.
在学生归纳二次函数定义的基础上，由教师给出系统的概念，训练学生的归纳总结的能力。
针对二次函数的概念，着重从三方面做出解释，学生掌握以上3点后，让他们自由的举出几个二次函数的例子，加深对二次函数概念的理解。
课堂环节 教学内容 学生活动 设计意图
（三）
知
识
运
用 1、随堂练习
（1）、下列式子中，哪些是二次函数？(①④)
①y=3(x-1)2+1
②S=5t
③y=(x+3)2-x2
④v=10πr2
（2）、圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时，圆的面积增加ycm2.
①、写出y与x之间的函数关系表达式；（y=∏x2+2∏x）
②、当圆的半径分别增加1cm,2cm时,圆的面积增加多少?
（当x=1时，y=3∏cm2；）
（当x=2时，y=8∏CM2） 学生动手完成练习。
（1）、下列式子中，哪些是二次函数？(①④)
（2）、圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时，圆的面积增加ycm2.
①、写出y与x之间的函数关系表达式；（y=∏x2+2∏x）
②、当圆的半径分别增加1cm,2cm时,圆的面积增加多少?
（当x=1时，y=3∏cm2；）
（当x=2时，y=8∏CM2） 通过对书本随堂练习的训练，并适时给出答案，进一步帮助学生加深对二次函数定义的理解
2、练一练
（1）、若y=(m-1)x2是二次函数，则m≠（A）。
A、1B、-2
C、1或-2D、2或-1
（2）、如何确定n值，
使y=(n+2)x+(2n-1)x-n+1为二次函数？
解：①、若n+4=2，则n=-2,从而y=0·x-5x+3=-5x+3,显然不是二次函数；
②、若-n-1=2,则n=-3,从而使y=-x-7x2+4,即y=-x-7x2+4是二次函数，故n的值为-3. 学生动手完成练习。
（1）、若y=(m-1)x2是二次函数，则m≠（A）。
（2）、解：①、若n+4=2，则n=-2,从而y=0·x-5x+3=-5x+3,显然不是二次函数；
②、若-n-1=2,则n=-3,从而使y=-x-7x2+4,即y=-x-7x2+4是二次函数，故n的值为-3. 让学生认真审题，启发学生思考，由学生讲解完成，鼓励学生到讲台上讲解，引导学生运用知识解决问题，并适时加以点拨。针对学生存在的问题，及时反馈、矫正。
课堂环节 教学内容 学生活动 设计意图 （四）
归
纳
小
结 这节课我们主要学习了二次函数的定义，知道形如：y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做x的二次函数.
通过本节课的学习，你有哪些收获? 交流、小结 鼓励学生用自己的语言说出自己的收获，并大胆质疑，师生共同释疑。给学生提供一个交流和倾听的机会，鼓励学生从多个角度交流自己的感受。 （五）布
置
作
业 课本P36页习题2.1第1,2题 课后完成 通过布置课外作业，巩固学生对二次函数概念的理解。
附1:板书设计
§2.1二次函数所描述的关系
一、
1、y=-5x2+100x+60000
2、y=100x2+200x+100.
二、二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做x的二次函数。
注意：（1）、有两个变量x和y；
（2）、自变量x的最高次数是2；
（3）、a≠0，b、C可以等于零.
教案设计说明
1、能够从学生的认知情况出发，创造性地使用教材，是本节课的一个亮点。例如，引例部分问题各种图片的观赏，激发了学生的学习兴趣，设计了全新的教学场景，恰到好处地让学生成为课堂的主角，让学生在有限的时间内获得大量的知识。
2．本节课注重从学生实际出发，密切数学与现实生活的联系。例如，储蓄利率问题的处理，通过让学生讲解这笔钱如何存，使学生在亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，明确自己的思想，并有机会分享其他同学的想法，在合作交流中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。
3．本节课以学生为主体，合理发挥教师的主导作用。采用想一想、做一做、议一议、练一练等方式展开教学，让学生充分动脑思考，小组合作解决难点。通过推理判断，给学生更多机会，关注学生能否用自己的语言有条理地叙述自己的观点，鼓励学生间相互补充、相互完善。在课堂归纳小结中，鼓励学生回顾自己整节课的学习过程，将自己的收获和困惑呈现给教师和同学。
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