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(x,y)∈(0,1),求证:x^y+y^x > 1

2021-12-03  toujingsh...
1、先证明引理:(伯努利不等式)(1+x)^r>1+rx(x>0、r>1)

引理的证明:

令f(x)=(1+x)^r-rx-1,

则f'(x)=r(1+x)^(r-1)-r=r[(1+x)^(r-1)-1]。

∵1+x>1,r-1>0,

∴(1+x)^(r-1)>1^(r-1)=1,

∴f'(x)>0,即f(x)单调递增,

∴f(x)>f(0)=0,

∴(1+x)^r>1+rx(x>0,r>1),引理得证。


2、回到原题,注意到y/x>0,1/y>1,在引理中令x取y/x、r取1/y即得(1+y/x)^(1/y)>1+1/x>1/x
∴1+y/x>(1/x)^y=1/x^y>0,∴x^yx/(x+y)
同理可证y^xy/(x+y)
两式相加即得x^y+y^x>1


3、伯努利不等式:(x>0
(1)r>1:(1+x)^r>1+rx
(2)0r1:(1+x)^r<1+rx
(二者互逆)

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