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龙 宇 苏明剑 (广东省佛山市罗定邦中学，528300) (广东省佛山市均安中学，528300) 在中学各类考试中,常常涉及“最短路径”的问题.本文以相关问题为例,将此类问题的解答方法展示如下. 一、利用最短距离原理所谓利用最短距离原理,就是连结两定点的所有连线中,以直线段长度为最小. 例1 如图1,已知正三棱锥D-ABC的底面边长为1,侧棱长为 分析 固定∆AEF的顶点A,将三棱锥的侧面沿DA展开,使得三个侧面处于同一平面内,则问题转化为平面上两点间的最短距离问题. 解 设∠ADB=θ,如图2,当θ<60°,即a>1时,连接AA′即为对应的最小周长.在∆DAA′中,由余弦定理,可得 当θ≥60°,即 例2 如图3,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 解 如图4,旋转底面ABCD至ABC′D′,使之与ABD1A1共面.连C′E,则C′E=CE,且D1、E、C′共线时,D1E+CE取到最小值D1C′. 在 故所求的最小值为 例3 如图5,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1中点,点P、Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点,求∆PEQ周长的最小值.
解 如图6,设BC的中点为F,连结QF,易知∆CFQ≌∆CEQ,从而QE=QF. 延长CC1至点M,使得C1M=C1E,则易得∆C1PE≌∆C1PM,从而PE=PM. 显然,∆PEQ的周长等于PM+PQ+QF的值.易见当M、P、Q、F四点共线时,该周长取到最小值 评注 以上几个例题都是将问题转化为求连结两定点的动折线之和的最小值,再结合两点之间直线段最短求得最短距离. 二、利用基本图形的性质例4 (人教版《数学》(必修2)第110页练习8)已知0<x<1,0<y<1,求证: 证明 将上述不等式用几何意义表示,构造边长为1的正方形OABC，如图7.设正方形内动点P的坐标为(x,y),则原不等式等价于证明
例5 (2007年全国数学联赛题)在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0)、 B(1,-1)、C(0,3)、D(-1,3)及一个动点P.求PA+PB+PC+PD的最小值. 解 如图8,设AC与BD交于F点,则PA+PC≥AC=FA+FC,PB+PD≥BD=FB+FD.因此,当动点P与点F重合时,PA+PB+PC+PD取得最小值 三、利用圆锥曲线的性质例6 如图9,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC交BD于点 分析 此题以立体几何为背景,涉及到的点都在一个平面上,且其中点M与点O均为定点.所以先考虑点P的轨迹,将原问题转化为一个平面上的最值问题. 解 利用轨迹法寻求点P的轨迹.由∠PA1O=30°,知点P在以A1O为轴,且母线与轴的夹角为30°的圆锥面A1O上.又点P∈平面ABCD,故点P的轨迹为平面ABCD与圆锥面A1O的交集. 不同的平面与圆锥相交所得的曲线是不同的.注意到
设圆锥面A1O与AO交于点E,易知 评注 由圆锥曲线的统一定义，用交轨法探索出点P的轨迹，是本题求解的关键. 例7 如图11,已知椭圆
分析 参考抛物线的光学性质,猜想在椭圆中对应的P也是对应的反射点.根据椭圆的光学性质,可知由椭圆一个焦点射出的光线经椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点. 解 连结AF2与椭圆相交于点P0.先证明|P0F1|+|P0A|即为最小值. 设点P为椭圆上异于点P0的任意一点,连结PF1、PA、PF2、AF2,则PF1+PA+AF2>PF1+PF2=2a,P0F1+P0A+AF2=P0F1+P0F2=2a.故P1F1+P1A+AF2>PF1+PA+AF2,即P1F1+P1A2>PF1+PA.所以,利用光学性质求得的点P0为对应的最小值点. 由上可知,|PF1|+|PA|的最小值为 四、利用函数的性质例8 (2012年全国高中数学联赛广东预赛题)设点P在曲线 解 注意 设点 由两函数图象关于y=x对称,得|PQ|的最小值为 评注 本题需挖掘出两函数互为反函数这个隐含条件,借助对称轴,数形结合简化问题. 五、利用著名问题的结论例9 已知Rt∆ABC中,∠A为直角,AB=3,AC=4.在三角形所在平面内求得一点P,使得PA+PB+PC取得最小值. 简析 由文[1]可知,本题所求的点为Rt∆ABC的费马点.根据文[1]的结论,可得所求最小值为
评注 费马点的求解过程:当∆ABC的最大角大于等于120°时,对应的费马点即为最大角的顶点;当∆ABC的最大角小于120°时,费马点对三角形三边的张角都为120°,即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.[1] 例10 设E为正方形ABCD内一点,EA+EB+EC的最小值为 分析 本题是费马点问题的逆向运用. 在∆ABC中,使EA+EB+EC取得最小值的点E对应为∆ABC的费马点. 解 设正方形ABCD的边长为a,则 代入文[1]中的公式(同例9),可得EA+EB+EC的最小值为
解得a=2.故正方形ABCD的边长为2. 六、利用逐步调整法例11 如图12,已知双曲线C:x2-y2=1,圆A:x2+(y-3)2=4.点P、Q分别在双曲线与圆上运动,M为PQ的中点,求|OM|的最小值. 分析 本题涉及的动点较多,可将动点局部固定,采用逐步调整法处理问题.
解 先固定点P,研究点Q及点M.点Q在圆A上运动,而点M的轨迹是圆.如图12,连结AP,取AP的中点D；连结AQ、DM,则DM 再让点P运动,设P(x,y),则有 参考文献 [1]龙宇,孙琼.向量与三角形的“心”[J].中学数学研究.2015 (4)：39-40 |
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过点A作截面与侧棱BD、CD分别交于点E、F,求∆AEF周长的最小值.
其中
结合三倍角公式cos 3θ=4cos3θ-3cos θ,即可求得相应的最小值.
时,点E、F在点D处重合,对应的截面不存在.
点E为AB上的动点,求D1E+CE的最小值.
中,C1D1=1,BC′=BC=1,BC1=2,因此
