【原】4.1:非负简单可测函数的Lebesgue积分

实变函数 第四章 Lebesgue积分

4.1:非负简单可测函数的Lebesgue积分

首先我们说一点，如果你粗略的看就会发现，我这80%就是抄书，emm怎么说呢，这是事实，其实你从课堂上也可以看出，由于实变的课时不多，所以我们上课过程很紧凑，基本就是定义-定理-证明-例子。所以你的笔记从某种程度上就是抄书，但是为什么我还要花功夫用Latex打出来呢？

其实主要还是对我自己有帮助，因为在整理的过程中，我不知不觉就会把自己带入老师的角色，想要把一个定理讲清楚，讲明白为什么要这么做（虽然大多数时候是讲不清楚的），所以其实是对在重构和加固我的知识框架，因此你就要怀着辩证的眼光来看我的这份笔记了!

参考资料：

1. 实变函数-周性伟
2. 实变函数论-周民强
3. 实变函数解题指南-周民强
4. 上课笔记

❝

定义1：(分划)设 是可测集, 是 的有限个或可数个两两不相交的可测子集，使得 , 则 称为 的一个分划.

❞

❝

定义2：(非负简单可测函数的Lebesgue积分) 设是可测集上的非负简单可测函数，定义它的Lebesgue积分为：

❞

Remark：由简单可测函数定义我们知道这里的一定是有限的.且当我们称，函数是Lebesgue可积的，在不做特别声明时，我们所说的可积均为Lebesgue可积.

现在我们通过一个例子可以直接看出Lebesgue积分和Riemann积分的区别：

❝

设

在Riemann意义下，它是不可积的，但是在Lebesgue意义下，它是可积的，并且积分为0.

❞

❝

定理3：设时可测集上的非负简单可测函数，且,a.e,那么：

❞

证明：首先我们针对，我们对有两个划分：，有如下断言：在上，如果那么：,于是有：

该证明方法对非负简单可测函数具有一般性，下边我们再用到这种方法时就直接略去不证了！

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❝

定理4：设  和 都是可测集    上的非负简单函数.

1. 若在 上几乎处处有 , 则
2. 特别地, 当 时, ;
3. 若 和 是两个非负实数, 则

4. 若 和 是 的两个不相交的可测子集, 则

❞

证明：(1)的证明完全可以搬抄定理3的证明，我们略去不证(只需将等于号换为小于号即可.)

(2)的证明则根据定义直接可以得到；

(3)的证明直接套用定义即可得到；

(4):我们仅对(4)给出详细的证明：此时由定义,

❝

引理5：设 和 都是可测集 上的非负简单函数, 它们满足 以下两个条件:

(i) 对几乎所有的 单增;

(ii) 几乎处处于 则

❞

case 1:当时，定义.故有：.根据：Egroff定理可知：存在，使,使在上一致收敛于,且我们知道这种收敛是单增收敛的；那么对任意的,存在,使：

故有：

且因为是简单可测函数，所以一定是有界的，故：

综上所述：

由的任意性，再对取极限即得所证 .

case 2:考虑测度为无穷时：.这时我们令：,那么有：

同时我们有：

故：

.

由case 2的证明过程中我们可以得到这样一个推论：

❝

推论6：若 是 中的递增可测集列, 是 上的非 负可测简单函数,则

❞

当然我们知道，我们想要的当然不仅仅是非负简单可测函数的Lebesgue 积分，我们更想要的是非负可测函数的积分，甚至是一般可测函数的积分，有了之前的简单函数逼近定理，我们自然会想到可以用逼近的简单函数的lebesgue积分来定义非负可测函数的lebesgue积分.这样的想法是很好的，问题就来了，我选择不同的简单函数来单增逼近一个非负可测函数，他们的lebesgue积分值会不会不同，如果积分值是不同说明我们的定义不是一个合理定义，下边一个定理就是来说明逼近函数的选取不影响最终的积分值，由此打开非负可测函数的lebesgue积分的大门！

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