【原】拓扑空间（一）

拓扑空间

参考书籍：

点集拓扑部分：

1.熊金城《点集拓扑讲义》(因为是教材，个人不太想用这本)

2.尤承业《基础拓扑学讲义》/阿姆斯特朗 《基础拓扑学》(两本差不多)

3.Kelley 《General Topology》 GTM系列

4.Munkres 《Topology》字典，什么不会就到这里查，但是没把它当教材

代数拓扑部分：学到再说.

朴素集合论自动跳过.....

泛函分析太难了，暂时先水一会拓扑，如果有人催泛函的话，我也是可以加紧一点的....

拓扑空间的定义

[拓扑空间]

设是一个非空集合，的一个子集族被称为是的一个拓扑，当它满足以下三条公理：

1. 和在中；
2. 中任意多个成员的并集在中；
3. 中有限个成员的交集在中.(由数学归纳法可得，等价于两个成员的交集在中.)

集合和它上边的一个拓扑被称为是拓扑空间记为.中的成员被称为是开集.当我们给出了集合上的一个拓扑就是规定了什么样的子集是开集.

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下边我们给出几个常用的拓扑的例子：

1. (离散拓扑)设是一个集合，构成上的 一个拓扑；显然任何一个子集都是的开集；
2. (平庸拓扑)设是一个集，构成了的一个拓扑；这是最简单的拓扑；
3. (余有限拓扑) 设是无穷集合(有的书上没有这个要求，那样的余有限拓扑就没有太大意义)，是上的一个拓扑.(这里的是因为有限的英文是finite)
4. (余可数拓扑)设是不可数集合(有的书上没有这个要求，那样的余可数拓扑就没有太大意义)，是上的一个拓扑.(这里的是因为可数的英文是countable)
5. (欧式拓扑)取,是上的一个拓扑.

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这些例子都十分容易验证，为了熟悉拓扑空间的定义，我们选取其中一个稍显复杂的拓扑空间进行验证，比如4：

显然,而故;

另外取,，两个可数集的并集是可数集，因此公理的第三条满足；

取,那么：

可数集的交集当然是可数集，因此公理的第2条满足.

对于一个集合而言，任给出一个拓扑，显然

因此离散拓扑是最大的拓扑，平庸拓扑是最小的拓扑；这里我们给出了似乎描述了拓扑的大小，为了精确化评判，我们必须下个严格的定义：

定义

设是上的两个拓扑，如果,我们称比大，或者比细(可能有的书上给出的是相反的，理解即可.).

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但是注意到，在包含的关系下，同一个集合上定义的拓扑只是一个偏序关系而非是全序，因为不是所有的拓扑都可以比较大小(我们马上会给出实例)

首先我们可以看出和是可以比较的，;（在某个固定的空间中）

但是和不可比较：例如在中：因为中元素的补集一般是不可数集所以不在中，反之中的元素一般也不能写为若干和开集的并，比如全体无理数.

度量拓扑

由于大家都已经学过度量空间，因此这里不再重述其定义：设是一个度量空间，是上第一个度量函数，我们知道该度量函数可以定义出球形邻域：

类似欧式空间一样，用这些球我们也可以定义出上的一个拓扑；但是注意到：所有的球组成的集合不能构成集合的一个拓扑，很显然：比如两个球的并和交一般不是球！，但是类似欧式空间中，上的拓扑可以定义为：

下边我们证明确实是上的一个拓扑：

显然第一条公理是自然满足的；第二条公理也是满足的。下边我们主要证明第三条：两个中的元素的交集还在中.为此我们需要引理：两个球的交集是若干个球的并集：

引理

的任意 两个球形邻域的交集是若 干球形邻域的并集，

这个定理的证明，我们可以说是相当熟悉了！设 , 则 记 , , 不难验证 . 于是

下边我们就开始证明两个中的元素在中：

那么：

又因为我们的引理可知：

所以中，因此任何一个度量都可以诱导出一个！

一个拓扑如果可以被度量诱导出来的空间称为是可度量的，一个可度量的拓扑空间装备了相应的度量就成为了度量空间，我们知道度量空间是由很多好的性质，比如说序列收敛的唯一性(满足Hausdorff公理).因此我们会对什么时候一个拓扑能够被度量化十分感兴趣，一个很自然的问题就是：是否所有的拓扑都可以被度量化？很遗憾我们的回答是不可以，我们下边会举出一个不可被度量化的例子；既然不是所有的都可被度量，那么自然探究的就是什么条件可以被度量，深入的问题我们不想在这里讨论，在后边的章节我们会就具体的问题讨论！下边只是对以上所述做一些简单的讨论：

例

不妨考虑,拓扑定义为平庸拓扑，所以中的开集只有,但是如果存在度量,那么我们记较小者记为,所以是一个球形邻域，但是,因此这个拓扑不可以被度量化.

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这里我们只是简单对其做了说明，具体关于可度量化的讨论，我们会在后续中详细讨论.

拓扑基

在度量空间我们在定义由拓扑的时候我们可以看到本身这些球是不可以定义出一个拓扑的，但是利用若干个球的并就可以定义出度量拓扑。对于我们而言当然是希望用更简单的东西来描述一个事物，既然能用这些球形邻域说清楚，我们就可以不非要用来说，类似的我们在其他拓扑也有类似的定义：

设 是 的一个子集族, 规定新子集族:

称是由生成的子集族.显然,且.

从度量空间中由度量函数诱导出的度量拓扑，我们可以发现：利用球形邻域能够定义出度量拓扑是因为它满足

1. 球形邻域的并可以包含整个空间；

2. 满足三条拓扑公理.

由度量拓扑定义，我们很自然的给出拓扑基的定义：

拓扑基

称集合 的子集族 为集合 的拓扑基, 如果 是 的一个拓扑.

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以及判断拓扑基的方法:

命题

是集合 的拓扑基的充分必要条件是:

1. ;

2. 若 , 则 (也就是 , 存在 , 使得 ).

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必要性的证明是显然的：因为是的一个拓扑，因此,自然第一条就要满足；而所以他们的交集在中.

下证充分性：即满足三条公理：

和在其中以及并集公理是自然满足的；下边只用看交集公理是否满足：任取中的两个元素(为了和定理中的区分.) 那么：

所以：

故定理得证.

上边所述是在集合上没有拓扑时，我们用一个子族生成其拓扑；但是一个空间如果已经有了拓扑，我们希望尽可能用较少的元素描述其拓扑，这时就衍生出了拓扑空间的拓扑基！

拓扑基'

称拓扑空间 的子集族 为这个拓扑空间的拓扑基, 如果 .

仔细思考不难得到其判定定理：

定理

是拓扑空间 的拓扑基的充分必要条件为:

（1） (即的成员是开集);

（2） (即每个开集都是 中一些成员的并集).

似乎比较显然.

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