T检验和其他假设检验的P值怎么理解

关于单样本和两独立样本T检验的操作方法，前两天推送的两文已经逐步讲解。今天我们不谈具体的步骤，而是通过案例全方位地将T检验和P值的逻辑和思想，掰开揉碎，尝试用白话再梳理一遍，增进大家的理解，不足之处，欢迎指出讨论。

案例：5年前，全国男性的平均身高是1.75米（普查得到的总体均值），现在我们想知道如今男性的平均身高是否发生了改变。

思路：从全国男性群体中随机抽取1000名样本，获得样本均值和样本标准差，进行假设检验。

此处需要提醒的是，在进行假设检验时，我们的关注点在样本均值上，即我们不太关注原始样本的情况，而是关注由这个样本计算的样本均值了。

现在，在脑海中重复上面的操作：比如我们随机抽取100次，每次都抽取1000名，所以，我们会得到100个样本均数，将这100个样本均数放在一起再求均数和标准差，得到的均数会更加接近全国这个总体的均数，而这个标准差就是你听过的“标准误”。

然而，现实情况中我们只会抽取一次，只会得到一个样本均数和一个样本标准差，虽然这一个样本均数不如上面由100个样本均数平均后计算地精确，但在数学上仍可以证明，这一个样本均数也可以用来很好地估计总体均数。所以，问题的关键就变成了，不抽取100次，怎么计算“标准误”？好在我们也能证明，只抽样一次获得的样本标准差（S），除以根号N就可以得到“标准误”的估计值了，于是抽样一次就可以简单算出“标准误”，再次提醒，这个“标准误”实际上就是均数的标准差。

现在我们正式开始T检验的思路。上文提到了，我们关注的随机变量已经不是原始的身高了，而是身高的均数，身高的均数，身高的均数（重要的话，讲三遍）。所以，身高均数成为了我们研究的随机变量，它也存在总体与样本的区分，它也有均值和标准差，而且我们还可以确定无论身高是否真正服从正态分布，身高均值这个变量总是近似服从正态分布（中心极限定理），由此我们就可以利用这些性质进行假设检验。

回到上面的问题，5年前全国男子身高的总体均值是1.75米（μ），我们想知道现在是否有变化，其实就是想检验，5年后的现在全国男子身高的总体均值是否还是1.75米。因为我们不进行普查，所以我们希望通过随机抽取一个1000人的样本来进行推断和检验。得到样本后，我们可以计算出样本均数、样本标准差以及标准误。

假设样本均数为 1.77，显然我们不能因为1.77和1.75这两个数字的不同就判断说现在全国男子的平均身高要大于5年前了。因为即使现在的身高没有变化，你随机抽取一个1000人的样本得到的样本均数也不可能就恰好等于1.75，这很好理解，抽样是有误差的。于是，我们就要搞清楚现在得到的这个样本均数（1.77）和5年前的总体均数（1.75）的差异仅仅是因为抽样误差，还是确实是因为现在人们的平均身高发生了变化，这里的“变化”用数学的语言表达就是：现在全国男子身高的总体均数到底还是不是1.75，注意这里是“总体均数”，也就是说我们真正关心的是总体，样本只是用来获得总体信息的一个手段。

我们先假设，现在的总体均数没有变，仍等于1.75。所以，我们抽取的1000人就认为是在这个总体中抽取的一个样本。在零假设情况下，这个总体的均数是1.75，而我们获得的样本计算出来的样本均数是1.77，假设检验的问题就转换成了：在一个总体均数为1.75的总体中，抽到如今这个样本的概率是多少？

很明显，如果这样问，答案肯定就是0。在先前的文章中，我们知道一个样本相当于数轴上的一个点，而从一个数轴中抽取一个点的概率就是0。然后，你就看到了那句“永远让人费解的话”：P值是抽取到现有样本或更极端情况样本的概率。

如果把样本割裂来看，抽到一个样本的概率就是0，而“现有样本或更极端情况的样本”中的“或”字表明，P不是指的一个点的概率，而是一个区间的概率，也就是在μ为1.75的总体中，根据抽到的样本计算的样本均值比1.77还要大的样本（比如1.78或1.80），这些样本合起来的概率就是P，而这些样本相对均数为1.75的总体而言便是“更极端样本”了。看到这里，你可以想想这句话怎么用概率式子表示出来呢？

最后一个问题就是，如何计算P值？这里需要的基础知识是：知道一个变量服从正态分布，怎么计算这个变量在某个区间上的概率。比如，随机变量X服从均值为2.5，标准差为1.6的正态分布，如何求X<4的概率。这种问题的解法应该都学过，我们简单回顾一下。首先将X进行标准化处理（即将变量减去均数然后除以标准差），比如将4标准化：(4-2.5)/1.6=0.94，然后查标准正态概率分布表P(Z≤0.94)=0.8264，于是就得到P(X<4)=0.94。

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