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例题：（初中数学几何综合题）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，交CD于点F，连接DE． （1）证明：DE平分∠ADC； （2）已知AD=4，当CD的长为2.5时，求弦DE的长度. 知识回顾 圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。判定：经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。 分析：（1）因为⊙O与BC相切于点E，所以首先就会想到可以连接OE，再根据已知条件证明OE∥CD，然后利用等腰三角形的性质以及平行线的性质推出∠ODE=∠CDE，即可解决问题． （2）已知AD和CD的长，要求弦DE的长度，若能够构建相似三角形就好了。不妨连接AE得到△AED，再证明△AED∽△ECD，可得DE^2=AD·DC，由此即可解决问题． 我们想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！ 解答：（1）证明：连接OE．（图略） ∴BC是⊙O的切线， ∴OE⊥BC， ∵∠C=90°， ∴CD⊥BC， ∴OE∥CD， ∴∠OED=∠CDE， ∵OD=OE， ∴∠OED=∠ODE， ∴∠ODE=∠CDE， ∴ED平分∠ADC． （2）解：连接AE，（图略） ∵AD为直径， ∴∠AED=90°， ∴∠AED=∠C， 在△AED和△ECD中， ∠EDA=∠CDE， ∠AED=∠C， ∴△AED∽△ECD， ∴AD/DE=DE/DC， 即DE^2=AD·DC， ∵AD=4，CD的长为2.5， ∴DE^2=4×2.5=10， ∴DE=√10， 即弦DE的长度是√10. （完毕） 这道题属于圆的综合题，考查了切线的性质和相似三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造图形以方便解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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