代数拓扑使我死亡......
明天我们介绍完Lindelof空间以及Urysohn度量化定理以后，再用两次介绍连通性，两次介绍紧致性，两次介绍商空间及拓扑群就可以进入代数拓扑的内容.（有时间我们还可以再花两次时间介绍滤子和网.）这周计划整完连通性.下周紧致性、商空间及拓扑群.中间还要更一下pde.然后下下周我们介绍完基本群和覆叠空间，拓扑就暂时停止了.因为考试周开始了！
可数性公理第一可数公理现在我们开始介绍空间的可数性公理.首先是第一可数公理，我们将证明如果一个空间满足第一可数公理，那么连续性的刻画可以由序列的收敛性得到.为了叙述方便，我们记第一可数公理为公理，第二可数公理为公理. 由于我们之前没有介绍邻域系这个概念，所以这里还要稍微提一下，目前我只在滤子和第一可数公理这里看到邻域系有较好的应用，其他的直接用开集叙述即可. 定义1：(邻域系与邻域基)
定义2：(公理)
练习3：
练习4：
证明：反证法.假设这个拓扑空间满足公理.不妨记为为的开邻域.其中每个都是的开邻域.那么是有限集，所以是可数集.任取且.那么.所以.又因为是的开集，但是又不包含,因此不可能包含任何一个.因此假设不成立.故该空间不满足公理. 我们曾经谈过： 在处连续任意的的结论是不正确的.但是如果如果当空间是空间时，这个结论是成立的. 为了证明上述结论，我们需要先做一些准备工作. 定理5：
证明：先任取 的一个可数邻域基 . 规定 , . 则 , 从而 也是可数邻域基. 显然, 时, . 定理7：
证明：取 处的可数邻域基 ,使得 时, . 因为 , 所以 . 取 , 得到 中的序列 任取 的邻域 , 则存在 ,使 , 从而 . 于是 . 按序列收敛的定义, 有 . 下边我们开始证明前面提到的定理： 定理8：
我们曾经将必要性留作习题，现在我们给出证明： 必要性：设在连续，那么对任意的包含的开集,是中的开集，因为,所以存在,那么任意的,就有,因此.因此. 充分性：如果后者成立，我们来证在处连续.反证法.假设在处不连续，那么意味着，存在处的邻域,使得不是的邻域.那么意味存在的邻域使得.所以.设是的一组邻域基，且.取使得.那么虽然但是.因此假设不成立.由此命题得证. 第二可数公理下边介绍第二可数公理，拥有第二可数公理的空间将具有更好的性质.我们也简记为公理. 定义1：(公理)
问题：他和公理有什么关系？答案是公理公理. 设是的可数拓扑基.那么对任意的的都有可数邻域基.只需令可数邻域系为： 练习2：
因此我们也得到了和公理是单向包含关系.为什么说公理是一个很强的条件呢？因为连某些度量空间都不满足公理.比如我们上边的例子就在说明这一事实.(取度量为离散度量.) 的强大之处不仅在这里： 定理3：
回顾一下可分空间的定义：有可数稠密子集. 设是一组可数拓扑基，我们只需要在每个中选择一个元素即可，甚至不用要求彼此不同.那么我们就得到了一组可数点.下边我们证明.这时只要回顾一下极限点的定义即可.任取.它的任意邻域,必然包含某个拓扑基，因此.因此命题得证. 然而可分却推不出拥有空间，甚至加上公理都不行，下边举出的反例是我们在分离性中看到过的. 练习4:记 是全体无理数的集合.在实数集 上规定子集族 是 的开集,
我们从第三条开始证明. (3):该空间是空间.对于任意一点,取.就是可数邻域基.(当然这里用的符号不太好，读者只要知道这对应某个开区间就好.)至于可分性.全体有理数就是. (4):子空间不是可分的.我们证明其是离散拓扑.这是因为中的任何一点,可以取中的开集：.那么： 这意味着单点集为开集,所以是离散拓扑.因此我们知道其不可分. (5):我们来证明公理具有遗传性.设是一组可数拓扑基 .那么就是子空间的可数拓扑基.但是不是 空间，因此 不满足 公理.. 但是我们可以证明在度量空间中可分和是等价的. 定理5
证明：设 是可分度量空间. 是它的一个可数稠密子集. 记 为自然数 , 则 是一个可数开集族. 下面验证 是 的拓扑基, 为此只须说明任一开集 , 存在 和自然数 , 使得 . 取 , 使得 . 取 . 使得 , 则 . 若 , 则 . 由三角不等式知 , 从而 , 比是  吹爆华灯初上！今天一下午看完了第一季！ （好像说明了我在划水....）
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