新知 · 新思 · 新文化
魔方的发展与竞速复原体系
“
编者按：魔方，又叫鲁比克方块（Rubik's Cube），最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院雕塑学教授鲁比克·艾尔诺（Rubik Ernő）于1974年发明的机械益智玩具。魔方与中国的华容道、法国的独立钻石棋被称为“智力游戏界的三大不可思议”。本期我们邀请到清华大学学生魔方社为大家分享魔方的有趣知识。任何一个细分领域，都集聚着人类的最高智慧。希望大家看完不要“方”，也希望大家能够找到自己的消遣方式，在自己感兴趣的领域享受生活，而不是“卷”哦。
2021年6月5日，湖北武汉，许瑞航——一名来自浙江的少年——飞速转动着手中的魔方。眨眼间，杂乱的色块纷纷归位。当他拍停计时器的那一刻，显示器上的时间定格在4秒06。这是他在本轮比赛中的第四次复原。5秒48的平均成绩提前宣告了由外国选手垄断二十年的三阶魔方速拧平均（五次去头尾）世界纪录的落幕。
许瑞航4.06秒复原三阶魔方
中国选手首次打破三阶魔方平均世界纪录的消息也冲出了相对小众的“魔方圈”，人民日报的报道让此话题一度冲到热搜第二名，魔方也再次进入大众视野。不少网友都回忆起自己童年时玩魔方“从入门到放弃”的美好回忆，有人提起了《最强大脑》节目中的盲拧魔方比拼，也有不少网友称“复原魔方就是重复一个套路”。这个小小的方块有何魔力？竞速魔方运动的选手是如何复原魔方的？盲拧魔方又遵循怎样的原理呢？
《挑战不可能之加油中国》节目片段，2019年2月4日播出，图源央视节目官网
发明与发展
1970年，第一款魔方在拉瑞·尼科尔斯（Larry Nichols）手中诞生，那时的魔方是一个2×2×2的小立方体。几年后，匈牙利建筑学、雕塑学教授鲁比克·艾尔诺（Rubik Ernő）为了帮助学生们认识空间立方体的组成和结构，动手做出了第一个魔方的雏形，称为Rubik's Cube。自此，魔方世界的大门被打开，四五六七等高阶魔方随着制作工艺的提升不断出现，SQ1、斜转、金字塔、五魔方等异型魔方纷纷被发明，弹力调节、磁力归位等竞速科技也频频涌现。
如今发展成熟的三阶魔方由一个十字中轴为核心，在六个中心块的周围镶嵌了12个棱块和8个角块，并拥有红-橙、蓝-绿、黄-白的标准配色。
三阶魔方的结构
N×N×N魔方统称为正阶魔方，其中奇数阶魔方结构大致与三阶相同，偶数阶魔方因为没有中心块，无法安装十字轴，而多数采用中心球来固定。当魔方的阶数高于七阶时，转动中角块伸出面外越来越多，为了防止角块滑落，需要将魔方做成面包形来加强牢固性。
面包型的七阶魔方
至于五花八门的异型魔方，其结构有些与三阶相似，拥有六向的中心轴，称为六轴魔方，譬如粽子魔方、镜面魔方；有的与三阶不同，如金字塔魔方是四轴魔方，五魔方是十二轴魔方等等。由于异型魔方的一个小块往往不是正方体，甚至可能是弧形、星形，他们转动后形成的形状千变万化，也因此获得了许多形象的名字，如风火轮、直升机等。
各式各样的魔方：从上至下、从左至右依次为斜转魔方、镜面魔方、三阶魔方、五魔方、粽子魔方、二阶魔方、四阶魔方、五阶魔方、SQ1魔方、直升机魔方、金字塔魔方
在魔方诞生后的数十年内，它的魅力吸引了越来越多的人投身其中。2003年，世界魔方协会（WCA）成立，为国际性的魔方比赛提供正规的渠道、统一的规则，并记录所有选手的成绩以及世界排名。在WCA的官方赛程中，收录了十七个比赛项目，其中二至七阶魔方速拧为用双手复原相应阶数的正阶魔方、三阶单手项目中选手只能用一只手复原魔方、三阶至五阶魔方盲拧要求记忆魔方的打乱状态后戴上眼罩复原魔方、三阶多个盲拧项目要记忆不少于2个三阶魔方后戴上眼罩复原魔方、最少步项目则要在60分钟内找出对于给定三阶魔方打乱状态的步数尽可能少的复原解法、此外还有魔表、五魔方、SQ1、斜转、金字塔等异型魔方竞速项目，各个项目的纪录往往都令人瞠目结舌。
世界魔方协会认证的各项世界纪录
1982年，第一届世界魔方锦标赛在匈牙利布达佩斯举行。四十年前的那时，三阶魔方速拧的纪录被定格在22秒95，与如今杜宇生创下的3秒47的时间纪录相差了近六倍，甚至不及如今盲拧一个三阶魔方或是复原一个四阶魔方所需的时间。这样惊人的突破归功于一代代魔方爱好者们的研究、创新与总结，他们为解决魔方还原问题提供了多种多样的思路。
二、还原魔方：速拧解法
1974年，Rubik教授在发明了魔方后便开始探寻还原它的方法。他采取的是最直观的角先法（CF法），即先归位八个角块再复原棱块，但那时的他并没有给出魔方还原的系统通解。
当我们第一次拿到一个打乱的魔方时，我们着手还原的第一步往往是尝试还原一个“面”，如九个白色色块。而事实上，我们应该在将这九个块归位的同时使他们的侧边也恰好相连，还原一“层”，这就是最基础的还原方法之一——层先法（LBL法）。层先法将魔方的还原拆分成了七个步骤：底棱归位、底角归位、中棱归位、顶棱翻色、顶角翻色、顶角归位、顶棱归位。其中前两个步骤可以通过自己的摸索轻易地学会，而之后的过程由于不能破坏已复原的部分，需要有一些特定的公式来帮助还原。层先法最大的优点就是将许多不同的情况归纳、简化，只需要不到十个公式就能将各种情况的魔方复原，对新手来说是一个很好的选择。
层先法的复原思路
在层先法的基础上，Jessica Fridrich教授等人发明了著名的CFOP解法。他们将底角归位与中棱归位、顶棱翻色与顶角翻色、顶角归位与顶棱归位分别融合，成为底层十字（Cross）、前两层（First 2 Layers）、顶层色向（Orientation of Last Layer）、顶层位置（Permutation of Last Layer）四个步骤，并经过后人的改进、总结，对后三步的每一种情况都有了确切的公式，共计41+57+21=119条公式。虽然公式看似数量庞大，但经过一段时间的手法练习就可以熟练掌握，轻松实现30秒以内复原魔方。
CFOP法的复原思路
为了进一步缩短还原时间，人们还开发了许多黑科技。譬如，人们已经知道任何Cross都可以在7步之内完成，但有时转动非常不顺畅。相较于大多数选手通常习惯的只以白色作为底面复原，曾多年霸榜几乎所有魔方项目世界纪录的Feliks Zemdegs就开发了“颜色中立”的“特殊技能”，即可以快速观察六面，从中选出最简单的一面为底，这使得他有更高的概率用更少的步骤复原魔方。另一个打破多次世界纪录的选手Mats Valk则发明了“强制跳O”技术——Valk’s Last Slot（VLS），可以在完成F2L（前两层）的同时通过预判直接让顶面颜色复原。此外还有将OLL（顶面色向）和PLL（顶层位置）合并成拥有497条公式的ZBLL复原体系，利用强大的公式记忆缩短用时；将公式练习成可以在前后左右四面完成前两层的手法（四向F2L）以减少魔方在手中转体的时间，等等许多强大的手法，而掌握这些技巧的选手能够让自己的成绩得到进一步的提高。
CFOP解法的119条基础公式
除了最广为人知的层先法复原体系，三阶魔方的还原还有Gilles Roux发明的桥式解法（Roux），“桥”是指左右两个1×2×3的长方形，将桥复原后把它们固定在手中，只需要转中层、顶层和右层，无需转体也可以将魔方还原。还有Zbigniew Zborowski发明的ZZ法，这种方法只需要转动左、上、右三层，同样地无需转体就可以实现魔方的复原，但步骤较多。由于其转动的特性，这种方法是完成单手还原的不错的选择，因为单手还原时往往使用左手，食指拨顶层和左层、小拇指拨右层，这三层的转动最为方便快捷。
桥式解法的复原思路
对于更高阶的魔方，处理则是将它们通过降阶转化为三阶的样式，但每高一阶，工作量都是几何级数般的上升，曾有人还原19阶魔方，用了5小时23分钟才完成，是还原三阶魔方世界纪录的5585倍。而二阶魔方采用的方法是面先法（EG法），即先还原一个面，再用一个公式复原整个魔方。一些顶尖选手在实力和运气的双重加持下已将二阶魔方的单次世界纪录突破进了0.5秒的大关。至于各式各样的异型魔方，其中有许多可以用类似正阶的方法解决，比如粽子、五魔方、镜面，但另一些，尤其是四轴的魔方，其解法则与正阶有很大不同，比如看起来是正方体的SQ1和斜转魔方。
四阶魔方的一种复原思路
另一条赛道：盲拧
除了速拧，盲拧也是魔方比赛的热门项目，在《最强大脑》节目上，多名中国魔方选手曾展示过带上眼罩盲拧魔方，技惊四座。人们很难想象他们是如何在十几秒钟内记下纷乱的颜色，又蒙上双眼后在十几秒内“噼里啪啦”复原魔方的。
清华大学学生魔方社社长宁照轩盲拧复原魔方
事实上，盲拧魔方和速拧魔方完全是两套不同的体系，速拧的过程中选手可以看到眼前的魔方状态，每一秒都可以根据当前的状态选取接下来的复原操作；但在盲拧过程中，选手只能记忆魔方的初始状态，如果遵循速拧的方法，是无法在短时间内想象出每一步转动后魔方的状态的。
为了解决这样的问题，魔方选手们设计出了一种先将魔方编码、再根据编码排列一些特定的公式来复原魔方的体系。在此体系中，选手们只需根据魔方的打乱状态为角块和棱块的位置进行编码并记忆，再在复原过程中运用只改变某几个方块位置的操作依次复原整个魔方。
盲拧方法中一种对魔方各色块的编码方式
三阶盲拧的方法有许多种类，常见的有8+18、M2OP、OP、M2R2、四步法等，其中，最广为盲拧高手使用的是彳亍法，得名于最早提出此方法的中国魔方选手。此方法主要分为两步：复原棱块的位置和复原角块的位置，此外，有时还需要进行“奇偶校验”。
不论魔方如何被打乱，其8个角块和12个棱块实际上只是做了位置上的重新排列，也就是置换。比如如下打乱状态的魔方， “黄蓝橙”角块被排列到了“蓝白橙”角块原本的位置，而“黄绿红”角块位于正确的位置；“白橙”棱块被排列到了“黄红”的位置，“绿红”棱块则在“黄绿”棱块原本的位置。
魔方打乱状态示意图
如果我们将原本位于某个位置的角块打乱后的位置读出来，并排成一个表，那么这个表就是一个置换的书面写法。此打乱的角块可以写为：
我们可以发现位于“黄橙绿”位置的角块为“白蓝红”，位于“白蓝红”位置的角块为“红蓝黄”，位于“红蓝黄”位置的角块为“白橙蓝”，位于“白橙蓝”的角块为“蓝橙黄”，位于“蓝橙黄”位置的角块为“绿橙白”，位于“绿橙白”位置的角块为“橙绿黄”，回到了初始的“黄橙绿”，只是色向发生了旋转。这个还原过程就像一个循环，被称为轮换。而轮换直接给出了我们需要执行的操作。相应地，我们也能得出棱块的轮换。
在记忆轮换后，即可按照轮换中的顺序来调整角块与棱块的位置。由于不存在只交换两个棱块或角块的操作，基本的调整位置公式为三个角块轮换、三个棱块轮换，它们都是最简单的非平凡偶置换（等价于偶数次对换）。因此我们还需要同时调整两个角块与两个棱块位置的公式来解决角和棱的奇置换情况，即奇偶校验。这些公式的实例如下。
三个角块轮换、三个棱块轮换和同时对换两个角块与两个棱块的例子
根据轮换中的顺序，我们可以用多个三轮换公式来复原魔方。例如在前述打乱中，可以先操作“黄橙绿”->“白蓝红”->“红蓝黄”->“黄橙绿”的角块三轮换，此时“白蓝红”和“红蓝黄”角块均归位，原本位于“红蓝黄”位置的“白橙蓝”角块被交换至“黄橙绿”位置。接下来再操作“黄橙绿”->“白橙蓝”->“蓝橙黄”->“黄橙绿”的角块三轮换即可归位“白橙蓝”和“蓝橙黄”角块。此时“黄橙绿”位置的角块为“绿橙白”，而“绿橙白”位置的角块为“橙绿黄”。这说明角块的置换是一个奇置换。与此同时，棱块的置换也一定是一个奇置换，因为魔方整体的打乱一定是一个偶置换。这时只需保留最终的角块对换，待棱块复原至剩余一个对换后，进行一个同时对换一对角块与一对棱块的操作即可。大多数对换和轮换的公式都是基于数学和抽象代数中群论领域中交换子的想法生成的，步骤多在8～10步左右。
维基百科“群论”词条的示例图即为魔方
同样地，更高阶的魔方理论上也可以实现盲拧，但那对选手的记忆力是极大的考验。中国选手林恺俊在2019年就曾以2分39秒12的总成绩打破了五阶魔方盲拧的世界纪录，目前该成绩仍居世界第二。在追求盲拧魔方的“大”以外，还有一些选手痴迷于盲拧多个魔方。世界上最厉害的选手曾在一小时内先记忆60个三阶魔方的状态，再戴上眼罩复原并完成了其中59个。
美国选手Graham Siggins打破盲拧多个魔方的世界纪录现场
结语
相信通过本文简单的介绍，读者朋友们能对竞速魔方运动的方法有基础的认识，在观看竞速魔方运动时能够基本了解选手是如何复原魔方的。具体的复原方法和公式可以在互联网上搜索本文中提到的关键字查询到。但魔方的魅力也远不止于此，正六面体以外的各种各样千奇百怪的魔方都有着其独特的破解方法，并且有着美妙的数学规律。
如果你喜欢挑战极限，可以尝试在不借助计算机的辅助下用尽可能少的步数复原一个打乱的三阶魔方。人们已经证明了任何打乱状态的三阶魔方最多只需要20次转动即可复原，这被称为三阶魔方的上帝之数。目前的魔方选手已经逐渐开始学习用更数学的方式思考，逼近这个极限，这也是魔方比赛中一个难度相当大的项目——最少步。
魔方，这个有着纯粹而美丽的数学属性的小小立方体，承载着无数人对速度的渴望和对人脑极限的挑战。随着竞速魔方运动的发展与推广，希望有更多人能够体会魔方的乐趣。
社团简介
魔方社
清华大学学生魔方社成立于2019年，致力于为校内魔方爱好者提供交流平台，整合优秀魔方资源，组织参加竞速魔方赛事，向全校师生展示魔方的魅力。曾获2020-2021学年清华大学学生社团优秀风采奖（新社团）。
图为清华大学学生魔方社社员庆祝校庆110周年制作的魔方拼图
社团平日会举行魔方教学和交流活动，清华“魔友”们齐聚一堂上演指尖的“速度与激情”。此外还组织社员参加世界魔方协会赛事，2021年，工物系孙纳川同学获世界魔方协会北京春季赛魔表项目亚军、广东公开赛魔表项目亚军，电子系张云柯同学获世界魔方协会天津夏季赛最少步项目季军。魔方社还计划牵头组织全国高校间的魔方赛事，以魔会友，促进校际交流。
图为部分社员参加2021年世界魔方协会北京春季赛的合影
供稿 | 清华大学学生魔方社
约稿 | 惠珺
编辑 | 惠珺
排版 | 惠珺
