2021 全国高中数学联赛（B卷）加试第四题详解

引言

问题

设为正整数，数列满足：

（1）证明：存在一个非立方数的正整数，使得数列中有一项为立方数。

（2）证明：数列中至多有一项为立方数。

分析

第一问送分，只需要简单列举几项就能找出一例。第二问需要一些观察，事实上，高中阶段处理这类题唯一可行的方式就是同余分析法，因为此题没有办法用通项公式方法解决。用同余分析法就需要去寻找一个适当的模，使得它的余数不会太多，经过试验，是一个很好的选择。本题基于一个很显然，但又不容易发现的事实：

引理：一个立方数模的余数只可能是.

以上引理留给读者验证，下面给出此题的详细解答。

解答

（1）令，从而

即为立方数，满足条件。

（2）设数列中存在立方数，则不妨把数列中第一个出现的立方数当作数列的第一项，我们要说明之后的项都不可能是立方数。由于为立方数，而一个立方数模的余数只可能是，则

从而

由数学归纳法可知，当时，

再结合可知，之后的项都不可能是立方数。证毕！

点评

本题重点在于观察，通过几个简单的计算，去寻找数列中的一些规律，只要能够发现一个立方数模的余数只可能是，则能够轻轻松松解决此题。