《3.3.3点到直线的距离
（一）教学目标
1．知识与技能
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.
2．过程和方法
会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
3．情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
（三）教学方法
学导式
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离. 用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？ 设置情境导入新课 概念形成 1．点到直线距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为
推导过程
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.
此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法. （1）教师提出问题
已知P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？
学生自由讨论
（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.
把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题.寻找最佳方案，附方案二.
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0，y2)，
由
得
所以
由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.
所以
可证明，当A=0时仍适用.
这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高. 通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法. 应用举例 例1求点P=(–1，2)到直线3x=2的距离.
解：
例2已知点A(1，3)，B(3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积. 学生分析求解，老师板书
例2解：设AB边上的高为h，则
AB边上的高h就是点C到AB的距离.
AB边所在直线方程为
即x+y–4=0.
点C到x+y–4=0的距离为h
，
因此， 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 概念深化 2．两平行线间的距离d
已知l1：Ax+By+C1=0
l2：Ax+By+C2=0
证明：设P0(x0，y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为
.
又Ax0+By0+C2=0
即Ax0+By0=–C2，
∴ 教师提问：
能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？
学生交流后回答.
再写出推理过程 进一步培养学生化归转化的思想. 应用举例 例3求两平行线
l1：2x+3y–8=0
l2：2x+3y–10=0的距离.
解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是
解法二：直接由公式
课堂练习：已知一直线被两平行线3x+4y–7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程. 在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书. 开拓学生思维，培养学生解题能力. 归纳总结 小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式. 老师和学生共同总结——交流——完善 培养学生归纳、概括能力，构建知识网络. 课后作业 布置作业
见习案3.3的第三课时 独立完成 巩固深化 备选例题
例1求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.
解法一：当直线斜率不存在时，直线为x=–2，它到A、B两点距离不相等.
所以可设直线方程为：y–1=k(x+2)即kx–y+2k+1=0.
由，
解得k=0或.
故所求的直线方程为y–1=0或x+2y=0.
解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.
若l∥AB且，则l的方程为x+2y=0.
若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y=1.
所以所求直线方程为y–1=0或x+2y=0.
例2（1）求直线2x+11y+16=0关于点P(0，1)对称的直线方程.
（2）两平行直线3x+4y–1=0与6x+8y+3=0关于直线l对称，求l的方程.
【解析】（1）当所求直线与直线2x+11y+16=0平行时，可设直线方程为2x+11y+C=0
由P点到两直线的距离相等，即
，所以C=–38.
所求直线的方程为2x+11y–38=0.
（2）依题可知直线l的方程为：6x+8y+C=0.
则它到直线6x+8y–2=0的距离，
到直线6x+8y+3=0的距离为
所以d1=d2即，所以.
即l的方程为：.
例3等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y–6=0上，顶点A的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程.
【解析】已知BC的斜率为，因为BC⊥AC
所以直线AC的斜率为，从而方程
即3x–2y–7=0
又点A(1，–2)到直线BC：2x+3y–6=0的距离为，
且.
由于点B在直线2x+3y–6=0上，可设，
且点B到直线AC的距离为
所以或，所以或
所以或
所以直线AB的方程为或
即x–5y–11=0或5x+y–3=0
所以AC的直线方程为：3x–2y–7=0
AB的直线方程为：x–5y–11=0或5x+y–3=0.
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