提起数学常数e，许多人并不陌生，因为它在对数中屡见不鲜。比如:2的3次方等于8；反过来,求2的几次方等于8,这样的计算就叫对数运算，记作log28=3。一般地，以a为底的N的对数就用logaN表示，若以10为底的常用对数就用lgN表示，而以无理数e为底的自然对数则记作lnN。这里的无理数e是一个数学常数（也称自然常数），具体地解释就是，e=2.718281828459……
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必须明确的是，自然常数e和圆周率π、黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”。作为变量数学中不可缺少的常数，e是描述自然界各种连续变化的有力工具，它是自然界纷繁复杂背后隐藏的基本规律。为了直观形象地帮助大家理解这个数学常数，不妨假定如下的生活情境（这实际是著名数学大师欧拉试图解决数学家雅各布·伯努利在半个世纪前提出的一个颇具推敲的“复利问题”）：
有一家银行很特殊，除了银行的年利率是100%=1，也就是存进一笔钱，一年后可以得到(1+100%)1=2倍的收益。更特别之处在于，银行还允许储户在任意时段取本息，也就是说，本金的利息是平均分到各个时段的。
比如某储户每半年（6个月）结算一次利息，那么，银行就提供利率的一半（50%），在这种情况下，这个储户一年后（共取2次）的收益为本金的(1+50%)2=2.25倍。
用最简单的情形来说明就是：
你把1元钱存入此家银行，到半年时就连本带利取出，然后再存半年，这样到年末你将得到（1＋50%）×（1＋50%）＝（1＋）×（1＋）=（1＋）2=2.25（元）的本息。
当然，你还可以改变存取方式，每满4个月就结算一次本息，再连本带息重新存入，这样到年底（共取3次）你就可以得到（1＋）×（1＋）×（1＋）＝（1＋）3=2.37（元）的本息。如果每次都只存1个月，月底结算后再连本带息重新存入，到年底（共取12次）你将得到（1+
从中不难看出，一年之中这样的存取时间越短（存取次数越多）收益越多。由此，许多人会产生如下自然问题：既然一年中存取的次数越多越合算，而且银行规则允许，那就不嫌麻烦反复存取，甚至都可以想象成坐在银行取款台那里不走，拿了就存然后再取再存（存取间隔以秒计），如此反复操作，储户是不是能以小博大得到巨额本息？（这正是伯努利提出的复利问题：假设n为利息复利的次数，利率是其倒数，一年后的收益为（1+）n,那么，n如果变得无限大，那（1+）n是否也会变得无限大?）为了解开大家的疑惑，可作以下具体说明：
把1元在一年中分成n次存取，那么你会得到（1＋）×（1＋）×…×（1＋）=（1＋）n(元)本息，因为结果一共是n项的乘积，显然,当n取无穷大时，结果就是你最多能得到的钱数。
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数学大师欧拉经过研究给出明确结果:当n趋于无穷大时，（1+）n=2.718281828459……并于1727年首次用小写字母“e”表示这个常数，以后逐渐成为标准，被称为自然常数。
也就是说，1元本金无论存取多少次，极限值为e≈2.718281828……（元）。除去本金1元，一年内总利息最多仅为1.7183元左右。如此一来，数学家严谨的分析给银行家吃了颗定心丸，难怪人们戏称e是银行家最喜欢的一个数，同时证实大家想当然的想象只不过是多余的担忧。
在数学中关于常数e的定义，最常见的有如下两种：
⑴定义e为一个数列的极限值：e=
⑵定义e为下列无穷级数之和：e=
（其中0！=1）
这里需要补充介绍一下有关“阶乘”的定义：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。比如4！（读作4阶乘）=1×2×3×4，8！（读作8阶乘）=1×2×3×4×5×6×7×8……n!（读作n阶乘）=1×2×3…（n-1）×n，0！=1。
e被称为自然常数，在实际的应用中,常称e是单位时间内、持续翻倍增长所能达到的极限值。这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。
世界上很多现象都可以微分方程式来表示。通俗地解释，在探究自然界的某些现象时,数学家会将各种函数微分或积分,然后设立微分方程式并求解。在计算过程中,其它函数经过微分与积分,式子都会发生改变。只有e不管怎么微分，式子都会保持同样的形式，不会发生改变。这也是为什么在探究自然界的诸多问题时,许多方程式中都有e的原因。
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现在你应该理解，e是用来描述自然界连续累加变化不可缺少的常数。事实上，自然界的经济增长和衰退，放射性元素的衰变，冰层的厚度变化等都离不开这个特别的e，因此e是数学和物理学中不可或缺的重要常数。
