对分形猫（Fractal Kitty），我知道的不多。她的真名叫索菲亚·伍德（Sophia Wood），是一个美国公立中学的数学“specialist”。我想象不了这是一个什么职位。她说自己辅导数学二十多年了，所以大概不是数学教师。但她的博客真的很数学。美国数学会博客专门做过介绍。我今天要说的是她的一个主题：Math Birds.
▲ 分形猫：American Peli-cantor美洲鹈鹕（American white pelican）为鹈形目鹈鹕科下的一个鸟种, 分布于美洲。分形猫借用谐音创造了一个词“American Peli-cantor”，隐喻康托尔。这一点在上图中非常明显：左边是呈现康托三分集的美丽的康托尔日落（Cantor SunSet），右边空中的鹈鹕排列成康托尔尘埃（Cantor dust）。右边还有一个公式，那是计算康托尔集的余集的勒贝格测度。顺便提一句，美洲鹈鹕飞起来确实是有队形的，用康托尔尘埃来描述很贴切。
🪶孪生素数与黃昏雀
▲ 分形猫：Evening Grosbeak
黃昏雀（evening grosbeak）这个名字其实是一场误会。原来人们以为它大多在黄昏的时候唱歌，事实上它一整天都很喧闹。但这不妨碍分形猫来联想夜晚的星空。“当考虑那些孪生素数的螺旋星座时，您可能会问：“它们到底有多少？- 无限的？” 图案的下面有最小的 5 对孪生素数(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29, 31)。一只漂亮的黃昏雀站在一个望远镜上，仿佛是在思考如何解决”孪生素数猜想“。
其实，模拟星空不一定是孪生素数。最早的这样的分布图是兰犹太裔数学家、核物理学家的美国数学家在一个科学会议上听取一个“又长又无聊的”报告时信手涂鸦画出来的。现在人们都称其为乌拉姆螺旋（Ulam spiral）。按照这个思路，读者可以画出什么有意思的天象图呢？
▲ 分形猫：Chestnut-backed Chicka-dy/dx
栗背山雀（chestnut-backed chickadee）分布于北美地区。在行为上，栗背山雀与其他的山雀没有什么区别。它们在树丛里跳跃，在大树上建窝，在房顶上歌唱。但这些与数学又有什么关系呢？原来是它们的飞行启发了分形猫。它们象过山车似的上下起伏式的飞行路径让她联想到了斜率场。这种场在数学上是由常微分方程确定的。
人类的飞翔是从模仿鸟儿的飞行开始的。其实鸟的飞行有很多种模式。伴随着这些模式又产生了不同的数学模型。不但有常微分方程，也有概率模型等。
▲ 分形猫：Western Sand Parallelepiper说到平行六面体（parallelepiped）的体积，人们大概能想到的是西滨鹬（western sandpiper），因为这种鸟的英文名字接近于平行六面体的名字。另外，它的学名来自亚里士多德。这种鸟在海滩上常常能被看到，它们有长长的腿和长长的啄，在沙子上迅速地走着，寻找食物。分形猫把它称作“西沙平行六面鹬”（western sand parallelepiper），真是形象。
▲ 分形猫：Spiraling Vaux's Swifts沃氏雨燕（Vaux's swift）与烟窗雨燕（chimney swift）有一个共同特点：它们晚上会在烟窗中过夜。它们螺旋式地集体落入到烟窗内的景象极为壮观。我没有看到过，但油管网站上有很好的视频。现在分形猫用曲线的参数表达式来表达它们的轨迹方程，很有趣。
大量的雨燕一起飞进一个小小的烟窗并不容易。它们不但要有定向，也要注意避免相互碰撞。数学上有一个简单的模型叫做“Boid模型”。它有三个原则：间隔原则，调整对齐原则和内聚原则。电影工作者就是利用这个模型在屏幕上实现群鸟的飞行的。我们在《数学都知道3》第五章中有过介绍。
▲ 分形猫：Packing Violet Green Swallows
必须承认，这一篇有些牵强，紫绿树燕（violet-green swallow）和数学真的是连不到一起。但这确实是有意思的一篇。笛卡尔定理（Descartes' theorem）说的是四个相切的圆的半径满足一个二次方程。从三个圆的半径可以确定第四个圆的半径。这是笛卡尔在 1643 年提出来的。分形猫把三个树燕宝宝放进一个人工鸟窝里，从圆形的窗口齐齐地探出头来，它们与那个窗口正好构成了笛卡尔的四个圆。不过，在现实中，燕宝宝一般都只有一只能探出头来，最多也只有两只。那么三个圆的关系是什么呢？
分形猫把这副图片定义为“紫绿树燕的堆砌”让我联想到圆的堆砌（或者说是圆的填充，circle packing）。这个课题在数学领域里是一个活跃的课题并有大量的应用。可惜她没有在这方面体现出来。
▲ 分形猫：Pileated Woodpecker北美黑啄木鸟（pileated woodpecker）是一种大型啄木鸟，生活于北美的落叶林中，它是美国现存最大的啄木鸟，成鸟翼展可达 66 至 75 厘米。啄木鸟最大的特点就是啄木。“咚咚，咚咚咚”。它们是树木的医生。这个特点并不仅限于北美黑啄木鸟，但个人认为，这种啄木鸟特别漂亮。分形猫选了北美黑啄木鸟是可以理解的。那么，“咚咚，咚咚咚”像什么？像不像摩尔斯电码？对，北美黑啄木鸟就是最优秀的通讯专家。
▲ 分形猫：Western Tanager黄腹丽唐纳雀（western tanager）是一种中型的美洲鸣禽。该物种为单型，目前没发现任何亚种。我是第一次听说没有亚种的鸟类。但似乎从来没有见到过。希望以后能有机会。分形猫将黄腹丽唐纳雀与橘子、夏天和温暖联系起来。图中的唐纳雀站在一个橘子的大圆上，刚刚拨开一个橘皮，背景中的橘皮呈现的是一个地球的五大陆、七大洋。一只圆规似乎画的是射影几何。圆规架在一个虚拟的水杯边上，杯中是一个橘子，大概是用来计算橘子的体积。不是所有的鸟都吃橘子，但黄腹丽唐纳雀确是吃。美国人会把自家树上的橘子切掉一半，吸引小鸟来吃。
▲ 分形猫：Cardinality Cardinal“Cardinal”对数学家来说是基数，对鸟类学家来说则是一种鸟：主红雀。主红雀科（cardinal）又称美洲雀科，是雀形目的一个科，其下生物分布于南北美洲。该科下的腊嘴鹀属原属于裸鼻雀科，但后来发现它与朱红雀科的几个属有更近的亲缘关系，因此被美国鸟类学会列入该科。名称上的巧合为分形猫提供了完美的素材。在我们观赏美丽的主红雀的同时，我们可以学习自然数集的可数性，实数集不可数的对角线证明法，可以看到自然数集和实数集的关系等等。这种鸟具有节日的喜庆颜色，所以经常出现在圣诞贺卡上。图中的红果是圣诞装饰中必不可少的圣诞浆果。它的学名是巴西肖乳香（Schinus terebinthifolia）。顺便地，看到一张雌雄同体的主红雀，介绍给读者。
▲ 分形猫：Belted Kingfisher这副作品大概是最接近真实情形的。白腹鱼狗（belted kingfisher）又名冠鱼狗、带鱼狗，也叫翠鸟。顾名思义，这是一种水鸟，特别会捕捉小鱼。人们常常在湖边、河边和湿地见到它站立在树枝或木桩上。一旦选中水中的哪条游鱼，她会一个猛子扎入水中，把鱼儿夹在嘴里。图片完美地表现了这一场景。一只翠鸟站在一个架子上，嘴里叼着一只小鱼（鱼形曲线，即 fish curve 表示）。另一方面，因为这种鸟的名字里有一个“king”字，在图中还能看到“king graph”（王图）和一个国际象棋盘。所以在这张作品中我们看到了两个数学主题：曲线和图论。
▲ 分形猫：Spotted Tau-hee这个图片是在 2021 年 6 月 28 日发出的。数学人都知道，这是一个“涛日” (τ Day)。原来有些人对圆周率 π 不满意，所以为了对抗“π日”，他们推出了这个涛日。其实 π 和 τ 的关系很简单：τ = 2π。但到底该用 π 还是 τ 来描述圆的性质，我们不深入讨论。我们关心的是这个涛日跟鸟有什么关系？原来有一种鸟叫斑唧鹀。它的英文名字是 spotted towhee。分形猫利用了一个谐音哏。斑唧鹀属小型鸣禽。一般主食植物种子。喙为圆锥形，与雀科的鸟类相比较为细弱，上下喙边缘不紧密切合而微向内弯，因而切合线中略有缝隙。相对鹀科其他属的鸟类，通常有较长的尾巴。吃种子和昆虫，非繁殖期常集群活动，繁殖期在地面或灌丛内筑碗状巢。图片中，一只斑唧鹀站在一个 τ 状的树枝上。它的前面是一个圆，上面用 τ 标出了所有特殊角 30，45，60，90，...，360 度。在《数学都知道2》第4章里有关于“涛日”更详细的内容。
▲ 分形猫：i-bis谢谢分形猫，让我知道了除了朱鹮（crested ibis）外，还有白脸彩鹮（white-faced ibis）。不过，我还是觉得朱鹮更漂亮一些。不服的请看上面的比较图片。鹮的英文以“i”开头，所以容易联想到复数单位。这又是一个谐音哏。分形猫在一个复平面上画了一只正在觅食的白脸彩鹮。几个最简单的复数性质也出现在图片中，可以被想象成是白脸彩鹮的食物吧，因为这种鸟是杂食物种，包括许多无脊椎动物，如昆虫、水蛭、蜗牛、小龙虾和蚯蚓。它也可能吃脊椎动物，如鱼、蝾螈和青蛙。
我更想看到的是欧拉恒等式 。一个虚数单位“” 把最著名的四个实数常数和整合到了一起。有没有五种鸟儿能体现这个关系呢？
▲ 来源：Heron's Formula“Heron”既是人的名字，又是一种鸟的名字。这就成了分形猫的的创作素材。鹭科（heron）在动物分类学上是鸟纲中的鹈形目中的一个科，也被称为鹭类。本科的鸟类为大、中型涉禽，主要活动于湿地及附近林地，它们是湿地生态系统中的重要指示物种。鹭科包括许多种。上面是维基百科上的五种。人们可能不知道的是，鹭是黄鼠狼的天敌。数学上，“heron”对应于海伦公式（Heron’s Formula），在中国人们也称之为“海伦-秦九韶公式”。巧合？分形猫甚至认为所有的数学公式和定理都应该用鸟来命名。这大概有点难度。
▲ 分形猫：Probability in the Leaves乌鸦（crow）在所有的鸟类里大概是最聪明的。在美国，乌鸦不怕人，而且最喜欢在人类活动的地方飞来飞去，蹦蹦跳跳。它们时不时地在地面上翻看着树叶，仿佛是在计算着什么事件的概率。可能就是树叶下有条虫，有个果子或一块人类扔掉的食物的概率吧。不管怎么说，分形猫见到乌鸦时心情愉快的概率是 1。于是，就有了这幅“树叶中的概率”。
乌鸦有多聪明可以从下面的鸟类学家做的测验看出来。
🪶鸽巢原理与鸽子
鸠鸽科（Columbidae）中的鸟一般是鸽子或者斑鸠。数学上，有一个鸽巢原理（pigeonhole principle）。一种简单的表述法是：若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。这个原理听起来简单，但它有很深刻的应用。因此不可能不被分形猫收入她的Math Birds系列。奇怪的是她并没有以通常的鸽巢原理为题材创作，而是以物理上的黑洞为背景。图中的主体是一个黑色的圆盘。一只鸽子正在飞向一个黑洞。这是黑洞是美国宇航局模拟的一个由薄吸积盘照亮的施瓦西黑洞地平线外的景象。这个图案螺旋状地逐渐缩小并进入到黑洞中。她把这幅画称作为“想象中的太空鸽巢”。鸠鸽科有320个物种。其中一个冠鸠（crowned pigeon）非常漂亮。希望读者喜欢。还有没有以鸟命名的数学定理呢？
🪶重心与太平鸟
▲ 分形猫："Two-Body" Problem: Barycenter vs Waxwing最后一幅是分形猫的“二体问题：重心与太平鸟”。太平鸟属（waxwing）或连雀科，在鸟类全基因组测序分类系统中是鸟纲雀形目中的一个科。这一科的鸟属于小型雀类，体羽松软，有些种类在翅尖有红色，有如蜡封，因此在英文中称它们为“蜡翅”（waxwing）。这个科的鸟广泛分布在欧亚大陆北部和北美洲。这种鸟和二体问题有什么关系？我似乎缺少想象力。就留给读者吧。
