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原创
陈兆学
腔调中医
2021-12-27 12:33 收录于话题
#中华医道
5个 数学视角看阴阳 视频内容 主讲人：陈兆学  《中华医道》专家简介  文字部分：《中华医道》论文系列 基于斐波那契序列的阴阳二分性 及其混沌学数理原理初探  摘要：本文着重对斐波那契序列及其模10序列所关联的阴阳二分规律进行了初步研究和分析，发现其与术数学体系中洛书、60甲子纳音以及五行生克相关的阴阳划分原则密切相关。鉴于斐波那契序列基于杨辉三角形与混沌学原理的密切关联，可初步推断，斐波那契序列中所隐含的阴阳规律与混沌系统沙尔可夫斯基序列性质尤其其中所涉及到的奇、偶周期划分当密切相关，值得进一步深入分析和探究。 关键词：斐波那契序列 阴阳二分性 杨辉三角形 沙尔可夫斯基序列  斐波那契序列（Fibonacci sequence，Fn=1，1，2，3，5，8，……）是一个非常特殊的序列，因在中世纪时由意大利的数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170–1250）首先发现而得名。该序列实际上满足递归关系[1]：  。 存在极为密切的关系。基于黄金分割数，与黄金螺旋存在直接关联的黄金矩形跟斐波那契序列间也存在关联：如图1左边子图所示，黄金螺旋所对应的黄金矩形的长边的长度皆具有同样的 形式，其中 a 和 b 是相邻的两个斐波那契数。故斐波那契数列序列堪称黄金分割相关数学规律的集中代表。图1 斐波那契序列和黄金矩形(左） 黄金螺旋及杨辉三角形之间关系（右）  传统文化与中医哲学体系中的阴阳二分法与2的整数次幂密切相关，如图1右边子图所示的杨辉（贾宪）三角形（在国外也称为帕斯卡三角形）表达，该三角形斜向各数字和恰为斐波那契序列。这暗示斐波那契序列与古文化阴阳二分的认识或许存在密切的关联。此外，黄金分割数在自然科学、生命与社会科学乃至文化艺术各领域普遍存在，以斐波那契序列为纽带，这与中华传统文化和中医理论中阴阳二分论的普适性应该也存在关联性。因此，有必要基于斐波那契序列的相关数学性质，对其中所隐含的阴阳二分性规律进行梳理、研究和探索，以期为中华传统文化与中医的现代化与再认识奠定必要的基础。 一、斐波那契序列相邻两项的关系与阴阳 阳道奇，阴道偶。在中华古文化研究中常以奇偶论阴阳，如天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十之易经天地数的定义与河、洛黑白点分布以及十天干阳干、阴干之划分，又如十二地支阴支、阳支之划分乃至60甲子纳音干支组合、同类娶妻之相间连续分布均是如此（比如甲子为阳，乙丑为阴，同是海中金，以此类推）。斐波那契序列中两相邻数也存在类似的阴阳划分规律并在生命科学领域多有体现。 首先，从蜜蜂的繁殖过程来看，雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰。人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是斐波拉契数列的第n项Fn，而每一代雄峰和雌蜂的数目恰为两个相邻的斐波那契数，这无疑隐含着雌、雄与阴、阳基于相邻两个斐波那契数的对应关系。 其次，一个向日葵花盘内的种子是按对数螺线排列的，存在有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。其中，两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线。类如菊科植物、菠萝之类植物所对应双向斐波那契螺旋数目也皆为二个两邻的斐波那契数。若以两个不同螺旋旋向对应阴阳之划分，则上述植物花盘、种子或果实的分布也基于相邻的斐波那契数与阴阳二分模式建立了关联。
此外，斐波那契数可在植物的叶、枝、茎等排列中发现。如在树木的枝干上选一片叶子记其数为0，后依序点数叶子，至与那片叶子正对的位置为—循回，其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。其中，在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序比。多数叶序比多为1/2，2/3，2/5，3/8，8/13，……，故呈现为两相邻斐波那契数的比。科学研究认为，该排列方式可以保证在空间上错落开，充分利用阳光。 实际上，斐波那契序列中后、前两项之比稍大于或稍小于黄金分割数并以其为极限。如1/1＜ 因此，斐波那契序列相邻两项跟中华传统文化体系对特定序列阳奇、阴偶的顺次相继划分或存在深刻的关联关系。 二、斐波那契模10序列相邻两项与阴阳的关系 斐波那契模-n（n为整数）序列具有周期性质，如n=2时周期为3，n=3时周期为8，n=4时周期为6，……。其中，当n=10时，斐波那契模序列周期为60，此时所得到的周期序列为[2]： 11235 83145 94370 77415 61785 38190 99875 27965 16730 33695 49325 72910 其模5序列为11230 33140 44320 22410 笔者通过仔细分析发现，斐波那契模10和模5序列也与中医阴阳二分原理和思想存在密切关联，尤其可体现于包括洛书、60甲子纳音五行与洪范五行生克相关规律中，本节将对此进行初步地研究和探讨。 （一）斐波那契模斐波那契模10或模5序列与洛书数码之阴阳排布关系 将斐波那契模10序列的60个数字若排列成2×30模式为： 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0 则除了第15和30列的0，每一列数字之和都为10，若进一步如图2所示将这些数字按逆时针顺次分布于圆周，则每一直径对应于其中的一列，则除去图中 图2、图3 斐波那契模10序列一周期数字布于圆周 洛书中四正、四隅数字与正方形 2)3）黑色十字线所连接的4个0，其它所有沿直径径向相对的两个数之和必然为10，这也与如图10所示洛书数码中1-9，2-8，3-7，4-6数字对所隐含的规律相吻合。进一步将斐波那契模10序列按4×15结构排列为： 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0 除去具有数字5和0的列，其每一列都是3 9 7 1和2 4 8 6的移位派生序列，可基于图2所示正方形结构对该排列进行考察，恰好可有与其相对应的13个正方形，为后续讨论方便，图2中只画出了6个。其中，每一个正方形顶点对应4×15结构中的一列，凡是顶点包含2，4，8，6的正方形，其从2开始按逆时针方向数字分布顺序为2 4 8 6，而顶点包含3 9 7 1的正方形，其从3开始按顺时针方向数字分布顺序为3 9 7 1，这和如图3所示的洛书的情况完全一致，更有意思的是，在拓扑上，图2中红绿蓝三种颜色中任一种颜色所对应的一对正方形顶点数字恰好与洛书中除5以外的8个数字的相对空间位置关系相吻合。 在文献[3]中也曾将洛书数码分布按照四正位和四角位分为奇、偶也即阳、阴两组，将其与3、2和5的整数次幂对10取余后余数所对应的循环数字序列3 9 7 1、2 4 8 6和5分别建立联系，其中数字5无论多少次幂都维持为自身不变，所以居于洛书中央。如此，可把数字2，3和5看成按照整数幂次取余思想生成洛书数码的核心基因数字，而该三个数字恰为斐波那契序列中的三个连续数字，它们可构成一斐波那契序列完整递归基元，即以2，3为初始数，按照斐波那契序列所隐含数学加法规则可派生出斐波那契序列中的所有数字。其中，第一次运算可看作2+3=5。 因此，斐波那契模-10数字排布与洛书数码之四正、四隅数字阴阳之划分及其关于中宫对称两数字之和为10性质（互为补数，实际也对应阴阳）在代数学上必然存在深刻的关联。 （二）斐波那契模10序列阴、阳子序列所对应核心数字序与60甲子纳音五行排布及五行生、克关系 为了突出斐波那契模10序列的特点，笔者将该序列中60个数字模5取余得 11230 33140 44320 22410 11230 32140 44320 22410 11230 32140 44320 22410 类似本论文第1节，将上述序列按照各数字索引的奇偶性进行分组可得到两个子数列为： SQ1：1 2 0 3 4 4 3 0 2 1 1 2 0 3 4 4 3 0 2 1 1 2 0 3 4 4 3 0 2 1 SQ2：1 3 3 1 0 4 2 2 4 0 1 3 3 1 0 4 2 2 4 0 1 3 3 1 0 4 2 2 4 0（1 3） 很明显，两个子序列分别以1 2 0 3 4与 3 1 0 4 2及其回文序列为重复子序列，各重复3次。考虑到在中华古代术数学体系中，不存在数字0，而常可以5代0，故在后文中我们把这里所引入的两个核心数字序分别对应定义为12534和31542。 为了更深入研究斐波那契模10序列与60甲子纳音排布的关系，笔者将60甲子纳音五行及其所属洪范五行按其属性排列成5×6阵列为： 甲子乙丑海中金 丙寅丁卯炉中火 戊辰己巳大林木 庚午辛未路旁土 壬申癸酉剑锋金 甲戌乙亥山头火 丙子丁丑涧下水 戊寅己卯城头土 庚辰辛巳白腊金 壬午癸未杨柳木 甲申乙酉井泉水 丙戌丁亥屋上土 戊子己丑霹雳火 庚寅辛卯松柏木 壬辰癸巳长流水 甲午乙未砂石金 丙申丁酉山下火 戊戌己亥平地木 庚子辛丑璧上土 壬寅癸卯金簿金 甲辰乙巳覆灯火 丙午丁未天河水 戊申己酉大驿土 庚戌辛亥钗钏金 壬子癸丑桑柘木 甲寅乙卯大溪水 丙辰丁巳沙中土 戊午己未天上火 庚申辛酉石榴木 壬戌癸亥大海水 为讨论方便，只保留其洪范五行属性并用洪范数代替上述阵列，可得图4a) 图4. 纳音五行5×6洪范数字阵列及其规律 从每一列看显然与上文所得到的斐波那契模10序列之核心数字序12534有密切关系。此外，如图4 b）中蓝线所示，其中以红线分隔的两部分结构中，每一部分从上至下、从左至右皆构成31542 31542 31542之循环。 因此，从60甲子纳音五行所隐含规律看，对斐波那契模10序列按照索引值的奇、偶进行的阴、阳分组显然具有非常深刻的术数学合理性。 无独有偶，如图5 所示，按照洪范五行数，两个模10序列核心数字序恰可基于五行生克五角形排布而互相转换，从五行生克阴阳划分角度也深具合理性。 实际上，斐波那契序列按索引值隔一取一所得奇偶索引序列相邻两数在原斐波那契序列中所对应比值恰为黄金分割数的平方，而自然界花基数黄金角亦与按黄金分割数平方比例对圆周角的划分有关，斐波那契数列模10序列按索引值奇、偶分组所得两核心子序列12534和31542除与中华古文化中奇、偶阴阳划分原则相对应外，亦正好与五行生、克之阴阳相对应，因此，这种划分方法反映了奇偶阴阳与五行生克阴阳划分之完全统一，非常有启发意义与价值。 图5. 12534和31542序列基于五行生克原理 相互转换关系图 三、沙尔克夫斯基定理——对斐波那契序列相关阴阳关系划分混沌学数理根源的初步猜想 二十世纪下半叶，混沌学作为一门新兴学科兴起。1975年，约克和李天岩发表了具有开创意义的论文《周期三意味着混沌》，文中证明：“任何一维系统中，只要出现规则的周期3，同一个系统也必然会给出其他任意长的规则周期，以及完全混沌的循环。”这一规律早在却早在六十年代就已被前苏联科学家沙尔可夫斯基给出了数学上的证明。沙尔可夫斯基首先为一维映射中的不同周期定义了“领先”关系，如果周期p的存在一定导致周期q存在，则称“p领先于q”，记为
这就是沙尔可夫斯基序列。沙尔可夫斯基定理说，如果在某个一维连续映射中存在着周期p，则在序列（1）中一切排在p后面的周期都也存在。对于连续的区间迭代，沙氏证明了：如果在沙氏次序中，M领先于N，则有M周期点，就一定有N周期点，这就是著名的沙尔可夫斯基定理。根据该定理，由于“3”领先于所有自然数，因此，如有一个周期是3的点，就必有周期是任意自然数的点。显然，该定理包含了李-约克定理的基本内容。它赋予“3”在所有自然数中领先的独特地位。如果系统有除1外的奇数周期点，则按倍周期必有任意偶数周期点，则奇数周期点暗示了对应偶数周期点的存在，使得偶数和奇数周期具有不对等性，此恰可对应中医基础理论中阴和阳的差别，而且除1以外的奇数周期都排列在前，1和所有偶数周期都排列在后，呈现出明显的阳、阴分野。而其中所隐含的倍周期分叉(period doubling bifurcation)，又称倍周期分岔、周期倍化分叉、叉形分岔，是混沌理论中一个非常重要的概念，是研究混沌理论必须理解的概念。倍周期分叉过程是一条通向混沌的典型道路，即可以认为是从周期窗口中进入混沌的一种最典型方式。通过倍周期分叉到达混沌现象的过程中，会依次由周期1，经过周期2，周期4……，类似中国古代太极生两仪、两仪生四象、四象生八卦……的流连过程，也与中华文化阴阳的思想相对应。故对沙尔可夫斯基序列之深入分析和研究，有望明确奇偶阴阳产生的混沌学数理根源。应当特别指出，沙尔可夫斯基序列和李天岩与约克的定理所提到的周期轨道，绝大部分都是不稳定的，但其中最稳定的轨道即在沙尔可夫斯基序列最后的按2的整数次幂分布的轨道，正好与杨辉三角形及其中所隐含的斐波那契序列有关，如此有理由猜想，沙尔可夫斯基序列之阴阳性质与斐波那契序列相关之阴阳划分也就暗暗存在某种联系，值得进一步予以分析和研究。
四、结论 本文着重对斐波那契序列及其模10序列所关联的阴阳相关规律进行了初步研究和探索，发现其与术数学体系中洛书、60甲子纳音以及五行生克相关的阴阳划分原则密切相关，同时基于混沌系统与沙尔可夫斯基定理对斐波那契序列阴阳划分的混沌学数理根源给出了初步的猜想。 实际上，生物细胞的有丝分裂过程是一分为二的倍周期过程。对于与混沌系统相关的沙尔可夫斯基序列而言，其针对每一个奇数对应的周期，在竖向都是按照2的倍数递增，而人对于音乐的感知也是如此，每相差一个八度，就构成2的倍数，故从音乐的角度，竖向对应同一个音，这也暗示了人体对于音乐的感知符合混沌学原理。无独有偶，人体对于颜色感知具有三原色原理，恰与周期三意味着混沌原理相吻合。这启发我们，人类的视觉和听觉应该与混沌学原理存在密切的关系，初步猜想可能是人本身属于混沌边缘的生物，外界刺激自然可基于混沌学原理参与人的感知过程，此极有可能与神经混沌有关。本质上，人体作为处混沌边缘系统与自指系统，密切关联于自迭代系统走向混沌的相空间分岔规律，集中体现为沙尔克夫斯基序列，其同时基于固有的自迭代反馈过程对应种种反馈平衡机制，导致系统结构或状态参量或阴或阳的损益变化，这些变化过程中必存在与八纲所对应的主要矛盾或矛盾主要方面，即通常所谓主证以及关键致病因素和治病切入点而关乎病机，其阴阳求衡治则必然基于相应迭代与反馈控制过程。 鉴于斐波那契序列基于杨辉三角形与混沌学原理的密切关联，可初步推断，斐波那契序列中所隐含的阴阳规律与混沌系统沙尔可夫斯基序列性质尤其其中所涉及到的奇、偶周期划分当密切相关，值得进一步深入分析和探究。 参考文献 [1] 吴敏，蔡克.黄金分割与斐波那契序列.九江职业技术学院学报[J].2003年03期：60-61。 [2] Marc Renault， Properties of the Fibonacci sequence under various moduli， MSc Thesis， Wake Forest U， 1996. [3] 高治源.九宫图探秘[M].香港天马图书有限公司.2004。 [4] 李曙华.三生万物——“3”是宇宙常数吗？.系统辩证学学报.1997第4期。 《中华医道》是以探源中医核心基本理论为主题的系列学术会议，由广东省健康中国研究会联合中华中医药学会、中国中医科学院、广东省中医药学会等多方资源和力量共同创办。为创新中医药话语体系，深耕厚植中医药文化，自2019年起，已先后成功举办了第一届《阴阳——至简之大道》、第二届《五行》、第三届《气的思想——在中医理论中的地位及现代认识》。会议聚海内外相关优秀专家学者研究之精华，围绕中医药基本理论核心命题，跨领域、跨学科探索未知，揭示本源，以书籍、纪录片、专访等形式，以期在交流中产生高水平成果，为新时期中医药传承创新发展提供新视角、新思路。学术成果正在进一步整理中，敬请关注。 END |
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