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女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。 前文回顾： 尽管非洲经济、政治和社会困难重重，但非洲拥有丰富的文化、语言、种族和艺术多样性。从北非到非洲最南端，人们可以在非洲人的艺术作品中找到文化遗产和信仰的表达。研究非洲文化中的数学为人们提供了一个独特的机会，可以让人们体验反映来自不同文化环境的人的知识和行为的多元文化数学活动。通过研究陶器上、编织布上的图案，以及许多非洲妇女装饰在家中墙壁上的艺术品，人们可以熟悉对称、变形、饰带图案以及仅使用直尺圆规构造几何图形等概念。通过这样做，人们不仅学会了重视数学，而且可能会对神秘的黑人大叔产生更大的好奇。 非洲艺术中的7种饰带对称 加纳的阿善提人以他们的多色梭织布而闻名。图2a是他们设计的一个例子，具有平移对称。图2b中的饰带是来自象牙海岸西北部的塞努弗人使用的装饰。这也是平移对称的一个例子。 图2 ab 图2c是来自扎伊尔库巴的木制水杯上刻的一维图案，图2d是来自同一地区的绣花布，二者的旋转对称性很明显。 图2 cd 来自安哥拉的玛雅卡人使用图2e的设计来装饰他们的陶器，该设计具有垂直反射的特性。图2f的设计也是由玛雅卡人完成的，具有水平对称性。 图2 ef 图2g是阿散蒂人和托加的埃维人编织的肯特布上的图案，具有滑移反射。图2h是安哥拉的Lwimbi Ngangela所使用的设计中滑移反射的另一个例子。 图2 gh 图2i是一块来自扎伊尔库巴的布样，展示出水平和垂直反射。图2j是一块来自扎伊尔库巴的布料，展示出滑移反射和二重旋转。 图2 ij 有限设计中的对称性 有限设计是那些不允许平移和滑移反射的设计。因此，有限设计只能有反射或旋转的对称性。这样的设计可分为两类。第一类包括"循环"图案。循环设计具有n阶旋转对称性，其中n是某个整数，但是这些设计没有镜像对称。具有二面体群对称的图案具有反射对称和旋转对称。图3a显示了一个来自尼日利亚Oshogbo的图案。在这个图案中，人们可以看到旋转对称和反射对称。 旋转和四重反射对称在图3b中很明显，这显示了肯尼亚斯瓦希里人的典型灰泥设计。 图3 ab 对数学爱好者来说，一个有趣的练习是尝试只用直尺圆规来构建这个设计，一种可能的构建过程如下： 如图所示，画一个正方形的网格。C点是图案的中心。如图3c所示，通过3点画出一条弧线。Geometers Sketchpad之类的绘图软件对于创造这种设计特别有用。 图3 cdefgh 图3i和3j展示来自扎伊尔中部的库巴木雕设计，二者都是旋转对称的例子。 图3 ij 图i具有14阶二面体群对称，图3j具有11阶循环对称。基于正七边形和十一边形的图形是罕见的，其他基于分割圆的方法是不能用传统的直尺和圆规来构建的。也许，在非洲的其他文化中没有看到这些设计的原因是，这些设计不可能只用直尺和圆规。因此，设计是基于估算的，很可能与数字的神圣属性有关，而不是基于使用直尺圆规来创造有趣的设计。 只使用圆规和直尺的几何构造 在北非和中东，几乎所有与数学有关的早期建筑都是只用圆规和直尺完成的。这是从希腊人那里继承下来的一项挑战。他们能够只用这两种简单的工具来构建几何图形。今天，随着计算机的出现，人们无法体验到完成这些构图的乐趣和挑战。以下非洲艺术的例子让我们有机会向人们介绍其中的一些技术。在这一点上，可能有必要向人们指出，虽然古代数学家发现了如何构建某些规则的多边形，如只用圆规和直尺就能构建五边形和十边形，但他们并没有成功地用这种方法构建七边形和九边形。卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）证明，使用这种方法不可能构建某些正多边形。他证明，只有当边数是费马数、2k+1形式的素数（其中k=2n）或由不同的费马素数相乘而得到的数字时，才有可能构建边数为奇数的正多边形。七边形或九边形是不可能用直尺圆规画出来的。 尼日尔的图阿雷格妇女用皮革贴花图案装饰骆驼鞍袋。其中的设计如图4a所示。 图4a 构建此设计有如下方式。画一个圆，用圆的半径作为六边形的边长来构造一个六边形。在六边形的每一边，构造一个等边三角形。由此产生的构造给出了所示的设计。 图4b是在科特迪瓦Ligbe人的木制面具上发现的一个图案。图4c是马里多贡人使用的木制壁柱上的一个图案。这两个图案都是五边形的构造。
图4bc 只用一把尺子和圆规就能把一个圆分成五个相等的部分。这里描述的方法是在一个圆的半径上使用黄金分割。线段OA上的黄金分割点是OA上的G点，使OA/OG=OG/GA。利用这个黄金分割，可以将圆周划分为10个相等的部分。将每两个点连接起来就可以得到五边形。
图4d 图4d显示了使用黄金分割的五边形的构造，设计4b的构造，以及4c中的五角星的构造。找到半径OA的中点。在A处画出垂直于OA的AB，长度等于半径的一半。连接OB，在OB上找到C点，使BC=BA。从O点开始，画一条半径为OC的弧线，与OA相交得到G，OG的长度将圆分成10段。 参考文献 [1] D'Ambrosia Ubiratan. Feb 2001. What is Ethnomathematics and How Can It Help Children in Schools? Teaching Children Mathematics. Vol 7, No 6. [2] Gerdes, Paulus. 1999. Geometry from Africa. Mathematical and Educational Explorations. Mathematics Association of America. [3] Gerdes, Paulus. 1998. Women, Art, and Geometry in Southern Africa. Trenton, NJ. Africa World Press Inc. [4] National Council of Teachers of Mathematics. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. [5] Perani, J. & Smith, F.T. 1998. The Visual Arts of Africa. Upper Sadle River, NJ.: Prentice Hall. [6] Sarhangi, Reza. 1999. The Sky Within: Mathematical Aesthetics of Persian Dome Interiors. Nexus, The International Journal of Architecture and Mathematics, Italy. PP.87-97. [7] Sarhangi, Reza. 2000. In Search of Symmetry, Mosaic 2000 Conference Proceedings, the University of Washington Press, Seattle. [8] Washburn, Dorothy K, & Crowe, Donald W. 1988. Symmetries of Culture. Theory and Practice of Plane Pattern Analysis. Seattle and London: University of Washington Press. [9] Vogel, Susan. 1991. Traditional Art. Africa Explores. 20th Century African Art. New York: The Center for African Art. [10] Zaslavsky, Claudia. 1973. Africa Counts: Number and Pattern in African Culture. Boston: Prindle, Weber & Schmidt [11] http://www.geom./java/Kali/ [12] Anileen Gray,Reza Sarhangi. Study and Application of African Designs for Use in Secondary Education 最后照例放几本扯犊子书目 青山不改，绿水长流，在下告退。 转发随意，转载请联系张大少本尊，联系方式请见公众号底部菜单栏。 |
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