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前文回顾： 屋中的天堂：波斯穹顶的数学之美 (超多伊朗大清真寺美图预警) 穿越时空的科学碰撞——中世纪伊斯兰建筑中的十边形和准晶体密铺 女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。 如何在立柱、拱顶、球面上画画 如今，关于中世纪工匠在建筑表面绘制复杂几何图案的历史技术信息非常少。本文重点讨论了在弯曲的表面绘制几何图案的特殊问题，并探讨了13世纪安纳托利亚图案的一些可能的技术应用方案。我们说明了如何在三种不同类型的弯曲表面上应用三种图案的假想过程，并讨论了表面几何形状和工具之间的关系。我们的主要动机是阐明设计的几何结构和制作图案之间的关系。 简介 在中世纪的安纳托利亚，也就是塞尔柱时期，由多边形、星形和线条组成的几何图案被用作纪念性建筑外墙的装饰品。这种风格在当时的伊斯兰地区非常普遍。这些错综复杂的设计是如何以几何形式构成的，这个问题已经引起了许多跨学科研究的注意。然而，只有少数研究关注抽象图案如何通过特殊的工艺转化为实际的东西，无论是雕刻成石头、砖或陶瓷，还是排列成木材。材料、工具和制作过程中的所有其他组成部分，如工匠的手法，都是形成图形的因素[6]。 只有少数书面资料讲述了那个时期的技术。其中一篇报道了工匠和几何学家之间的定期会议，后者在会上直观地展示了几何方法[7]。除了中世纪的论文和经久不衰的工艺传统，学者们大多依靠现有图案的线索来推测它们是如何制作的。在锡瓦斯的Divriği大清真寺的一块石头上发现的圆规和圆圈痕迹表明，圆形网格是在现场用于绘制建筑表面的几何图案[8]。这就巩固了用圆形构建形状和在坚硬材料表面应用之间的联系。图1显示了用圆规画出的部分有代表性的交错圆的网格和一个示范性的结果图案。在画完圆之后，用直尺画出与交叉点相交的线。这些线将圆圈分成相等的部分，并生成多边形作为图案的形式结构。通过在网格上的交点处画出较小的圆，并对画出的多边形进行平移，可以在圆形网格上构建不同厚度和尺寸的多边形。 图1：用圆规绘制的交错圆的网格和一个示例图案 圆规直尺应用的优点之一是可以在不平坦的建筑表面和不同大小的建筑上绘制拓扑一致的网格，从而将图案绘制在曲面上[9]。在现实中，图案也被绘制在具有正、零或负曲率的不同类型的表面上。为了在这种表面上保持设计的对称性，这些应用需要三角学的知识或简单绘图工具和技术的诀窍。本文考虑了三种塞尔柱人的图案，以及他们的几何设计在三种不同弧度的石面上的实际应用。考虑到石材的尺寸、位置和材料，这些图案似乎是直接雕刻在石头上的。首先，我们展示了可用于构建每个图案的圆形网格，并对它们所在的表面进行建模，以了解其几何特征。其次，我们为每个图案展示了工匠们当时可能采用的两种替代方法，即使用纸张、圆规和绳索等各种工具在相应的石面上应用圆形网格。调查得出的结果是讨论哪种类型的应用适用于不同类型的曲面和这种效用的变量，以及讨论材料应用方法对图案设计的局部和整体变化的影响。 凸柱面 第一个图案均匀地包裹在埃尔赞坎（Erzincan）附近特尔坎（Tercan）的Mama Hatun陵墓入口的圆柱表面，这是一座可以追溯到13世纪初的黄色石刻纪念碑。在圆柱体可展表面上应用二维图案，在理想情况下类似于将其放置在平面上。不过，有两种方法可以在石柱上完成。 设计的图案依赖于圆形网格，它将作为生成六边形图案的基本指导，如图2所示。浅画的圆是辅助线，用于生成下一个圆。在第一种可选应用中，在长度等于圆柱面周长的纸张或组织上绘制圆形网格。圆的半径相等，并且在矩形薄板上遵循线性且均匀的重复。在这个设计中，网格圆的半径与圆柱体的半径之比为π/3。然后可以将网格复制到圆柱体的表面（图3），并用实际的工具和材料进行装饰。纸包裹在圆柱体周围，作为模板，因为它的深色线条压在石头上并做上标记。 图2：左图：Mama Hatun陵墓入口处的花柱图案照片。右图：圆形网格及其构建的图案 图3：纸张如何包裹成圆筒 第二种方法是用一根绳子，也就是原始的圆规，直接将网格画在石头表面（图4）。随着一个圆圈绘制出来，每个圆圈的中心点是下一个圆圈的参考点。绳子沿表面运动，产生半径与测地线距离相等的圆。在可展曲面上，所有这些圆的半径都与纸张平面上的半径相同，而且这两种应用都得到相同的结果。在这个例子中，图案的六角形单元从任何角度都是完全可见的，尽管在一个细长的版本中，它环绕着圆柱体。如果网格的半径与圆柱的半径之比大于π/3，那么这种设计就完全不同了，甚至可能不统一。更大的比例也会对第二种选择产生负面影响，因为工匠很难在水面上将绳子延伸成圆规。半径之间的比例关系是有极限的。 图4：左图展示了如何使用绳子在圆柱面上绘制每个圆，右图展示了绘制过程 弧形内角拱 第二个例子是同一纪念碑上的一个弧形内角拱的图案。这个内角拱是一个典型的muqarnas单元，是伊斯兰建筑中用于覆盖拱顶的常见特征。在muqarnas单元中，两个垂直边缘在顶部相遇的角度通常为90°、45°或135°[10]。图6说明了这个特殊的内角拱表面。圆形网格支撑着图案的六重结构（图5），如图1所示，十二边形单元与之相抵。 图5：左图：Mama Hatun陵墓入口处一个弧形内角拱上的图案照片；右图：一个圆形的网格和由它构建的图案 图6：左图展示了弧形内角拱的位置；右图向上发展，然后挤压弯曲的内角拱几何模型 我们采用与上面相同的两种方法在表面上应用图案。在第一种方案中，圆圈画在纸上，然后将其贴在斜面的内表面上进行复制（图7）。这和第一个例子一样简单明了。尽管如此，如果斜面的底边是弯曲的，就像在muqarnases中有时是弯曲的，那么此法就无法奏效，纸模板的应用就需要额外的步骤，比如把它作为一个中断的表面建模。 图7：使用纸张的绘图过程 在第二种选择中，绳索圆规被用来直接在表面上画圆圈。图8说明了绘制过程，当笔的端点接触到弯曲的表面时，绳子被拉长并围绕中心转动360°。由于曲面弯曲的地方是凹陷的，测地线的距离不同，所得到的形状不是一个完美的圆。这可能是这个特殊图案的情况，因为十二边形的图案大部分在平面上，只在顶部有弯曲。弯曲对其从下往上看的影响很小。 图8：左图显示了在绘图过程中使用绳子；右图说明了拉伸的绳子和形状和中心之间的测地线距离 凸球面 最后一个例子是13世纪末锡瓦斯的Buruciye Madrasah入口处的一个半球状石面的图案。它有不同大小的互锁部件。在中心，有一个中央五边形，它被分成五个菱形、五个三角形和一个五边形，如图9右下角的图所强调的。三角形和一个五边形构成一个星形。这五个三角形也可被视为五个梯形，因为它们的线条被加粗了。然后，在中心多边形周围还有十个同样大小的五边形。然后，有一个单一的十边形穿过这些五边形的中心 这些五边形的中心。最后，在外缘，还有十个较小的五角形围绕着十角形，与较大的五角形交错在一起。这个图案的基础包括三个不同大小的圆。图9显示了这个基座和内嵌的多边形在半球上的包裹情况和在平面上的拉伸情况。五重对称性在两者中都占了上风。 图9：左图是照片，右图是用于构建图案的圆形底面和多边形 第一种方法，在半球上应用纸模板显然是不可行的。第二种方法，用一根绳子或普通圆规在半球形表面上绘制图案（图10），当绳子的一端围绕中心点旋转时，被拉长的绳子就会沿着表面移动。然后，圆的半径等于圆和它在半球上的中心点之间的测地线距离。普通圆规也会产生同样的结果，而且精度更高，因为它不会有绳子可能出现的滑动。这个例子与前两个例子的不同之处在于，这个设计只能在半球上构建，而不能事先在纸上构建。应用过程中，首先在半球体的顶部画出两个半径不同的同心圆。其中较小的一个直径为球半径的1/2，用于刻画五边形，较大的一个用于刻画十边形。然后在大圆上的一个随机点周围画一个半径与小圆相同的圆。这个过程继续进行，再画9个圆，每次都是下一个圆与最近画的圆的中心相交。最后，在网格上最小的圆可以围绕中心的10个现有圆的交点来画。通过这种方式，可以用简单的工具在球面上调整不同大小的多边形。 图10：每个圆都是用绳子或圆规画在半球上的 参考文献 [1] S. J. Abas and A. S. Salman, "Geometric and group-theoretic methods for computer graphics studies of Islamic symmetric patterns", Computer Graphics Forum, 11(1):43–53, 1992. [2] C. S. Kaplan, "Computer Generated Islamic Star Patterns", Bridges, 105-112, 2000. [3] C. S. Kaplan and D. Salesin, "Islamic Star Patterns in Absolute Geometry", ACM Transactions on Graphics, 23(2):97-119, 2004. [4] P. Lu and P. J. Steinhardt, "Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture", Science, 315:1106–1110, 2007. [5] Ö. Bakirer, Selçuklu Öncesi ve Selçuklu Dönemi Anadolu Mimarisinde Tugla Kullanimi {The use of brick in Anatolian architecture in pre-Seljuk and Seljuk era}, ODTÜ, 1981. [6] M. Özkar and N. Lefford, "Modal relationships as stylistic features: Examples from Seljuk and Celtic patterns", JASIST, 57(11):1551-1560, 2006. [7] A. Ozdural, "Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World", Historia Mathematica, 27:171–201, 2000. [8] Ö. Bakırer, "The Story of the Three Graffiti", Muqarnas, 16:42-69, 1999. [9] M. Özkar, "Repeating Circles Changing Stars, Learning from the Medieval Art of Visual Computation", In N. Lee (ed.), Digital Da Vinci: Computers in the Arts and Sciences. Springer, 49-64, 2014. [10] Y. Dold-Samplonius, "Practical Arabic Mathematics: Measuring the Muqarnas by al‐K¯ash¯I", Centaurus, 35:193-242, 1992/3. [10] Begüm Hamzaoğlu,Mine Özkar, Geometric Patterns as Material Things: The Making of Seljuk Patterns on Curved Surfaces 最后照例放几本扯犊子书目 青山不改，绿水长流，在下告退。 转发随意，转载请联系张大少本尊，联系方式请见公众号底部菜单栏。 |
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