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初中数学|经典几何问题:“中点”四大模型

2022-01-06  一个大风子

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初中数学往期模型

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'中点'四大模型

模型1 . 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形

     如图①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E使DE=AD。

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结论:△ADC≌△EDB(利用SAS证明)。

     如图②,D是BC中点,延长FD至点E使DE=FD,

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结论:△FDB≌△FDC(利用SAS证明)。

分析:题目中出现中线或者中点时,可以利用倍长中线或类中线,构造全等三角形,这样构造的目的是把条件中的线段进行“等同转移,在后续过程中使用

例子: 如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,连接BE并延长AC于点F,AF=EF。

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求证:AC=BE。

证明

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方法一

因为D是BC的重点,用倍长类中线模型,

作AD延长线到点G,使得DE=DG,联结CG. 

△BED≌CGD(SAS)。

∠BED=∠GBE=CG

 又∵AF=EF

∠CAD=∠AEF又∵∠BED=∠AEF

CAD=∠G,

 ACG是等腰三角形,

AC=CG,

AC=BE

方法二

提示,利用倍长中线模型,

作AD延长线到点G使得AD=DG,联结BG.

思考如图,在△ABC中,D是BC的中点,DM⊥DN,如果

         BM2+CN2=DM2+DN2.

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求证: AD2=1/4(AB2+AC2)。

提示:作MD延长线至E,使得DM=DE,联结CE, NE. 使用勾股定理逆定理。

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模型2.  已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用“三线合一”

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分析:等腰三角形中有底边中点时,作底边的中线,利用等腰三角形“三线

合一”的性质得到角相等或边相等,为解题创造更多的条件与思路。见等腰三

角形,就意味着:“边等、角等、三线合一”。

思考如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN⊥AC于点N,

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求:MN的长度。

提示作中线AM,利用面积关系求MN。

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模型3. 已知三角形一边的中点,可以考虑中位线定理

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在三角形中,如果有中点,可构造三角形的中位线,利用三角形中位线的性质定理:DEBC,DE=1/2BC, 来解题,该模型可以解决相等,线段之间的倍半、相等及平行问题。

思考如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N。

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求证:∠BME=∠CNE。

提示:联结BD,作△BDC的中位线EH, 作△ABD的中位线FH

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模型4.  已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线

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结论:CD=1/2AB。

分析:在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,来证明线段间的数量关系。并且还可以得到两个等腰三角形:△ACD和△BCD,这个模型经常会与中位线定理一起综合应用。

思考如图,在△ABC中,BE、CF分别为AC、AB上的高,D为BC的中点, DM⊥EF于点M。

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求证:FM=EM。

提示:联结FD,ED。等腰三角形三线合一。

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