圆中的辅助线 模型1 . 连半径构造等腰三角形 已知AB是⊙O的一条弦,连接OA、OB, 结论:∠A=∠B。 分析:与圆有关的题目,通常可以连接半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理,解决求角度问题。 例子: 如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B, 且AB=OC,求∠A? 证明: 联结OB,∴△BOE是等腰三角形。 ∴∠E=∠OBE, ∵AB=OC=OB, ∴∠A=∠BOA, ∵∠EOD是△AEO的外角, ∴∠EOD=∠A+∠E, ∵∠OBE是△ABO的外角, ∴∠OBE=∠A+∠BOA=2∠A, ∴∠E=2∠A, ∴ ∠EOD=3∠A=84°, ∴∠A=28°。 思考:如图,AB经过⊙O的圆心,点B在⊙O上,若AD=OB,且∠B=54°。试求∠A的度数? 提示: 联结OC、OD,计算∠BOC=72°。 再通过等腰三角形,得到 ∠BOC=3∠A。与上题类似。 思考:如图,AB是⊙O的直径,弦PQ交AB于M,且PM=MO。 求证:弧AP=1/3弧BQ。 提示: 联结OQ、OP,证明∠BOQ=3∠POA。 模型2. 构造直角形 如下图,已知AB是⊙O的直径,点C是圆上一点,连接AC、BC, 则∠ACB=90°。 如下图,已知AB是⊙O的一条弦,过点O作OE⊥AB, 则OE2+AE2=OA2。 分析: (1)当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路。 (2)在解决求弦长、弦心距、半径问题时,常构造弦心距或联结半径作为辅助线,再利用勾股定理进行计算。 思考:如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,BE=6,∠DEB=60°, 求:CD的长度。 提示: 联结OD,作OF⊥DE, 利用∠DEB=60°,求出线段OF, 再利用勾股定理求出DF。 思考:如图,⊙O的弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AE=5,BE=13,点O到AB的距离为2√10,求点O到CD距离,线段OE的长及⊙O的半径。 提示: 如图作出辅助线,多次运用勾股定理。 1 注:若思考题有疑问可以私信小修要答案! |
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