李善兰之“三角垛第一”说上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：《十三种》之
最基础之级数表乃为〈三角垛表〉，其横列乃为两项式定理﹝Binomialtheorem﹞之系数，清?李善兰之〈三角垛表〉主要表达从
右上至左下所形成之级数系列，而此等级数乃互相关联者。关键词：三角垛表元垛一乘垛第1节李善兰之三角垛表本文取自清?李善兰（
1810年－1882年）之《则古昔斋算十三种》﹝简称《十三种》﹞之〈垛积比类?卷一?三角垛第一〉。《十三种》之最基础之级数表乃为〈
三角垛表〉，下页之图为〈三角垛表〉。注意〈三角垛表〉之横列乃为两项式定理﹝Binomialtheorem﹞之系数，即(x+
y)n展式之系数，n即〈三角垛表〉之“层数”。造表之法先在左右两斜填上1，将左右两数相加填在下方之方格内即成。《十三种》曰：
造表法：并上层左右二数，为下层中一数。〈三角垛表〉其实早已有之，李善兰曾深入研究元?朱世杰之《四元玉鉴》，深受启发。该书卷首有以下
之〈古法七椉方图〉，此图即〈三角垛表〉。〈三角垛表〉并非单纯表达两项式定理，李善兰而是发现此表中含有一系列之级数，而此等级数乃互相
关联者。李善兰之〈三角垛表〉主要表达从右上至左下所形成之级数系列。李善兰尚发觉如果改变左方斜边之数目，例如改1为2，或改为
3、4…，则可形成新之“三角垛表”，不过此类“三角垛表”所生成之级数会更复杂，李善兰以此法创造多个此类表。以下两图为〈三角垛表
〉及〈古法七椉方图〉：〈三角垛表〉主要乃指从右上至左下所形成之级数，以下为“三角垛表”之级数表：abcdefghijklmnopq
元11一211二3121三41331四514641五615101051六71615201561七81721353521719182
85670562881109368412612684369111045120210252210120451012551653304
6246233016555136622049579292479249522066〈三角垛表〉﹝等腰三角形表﹞之形成法如下：先列出左
斜之1、1、1、1……，再列出右斜之1、1、1、1……，从第二列开始左右两数相加即得下层之数，步骤重复即可得上表，此即为“倒等
腰三角形加法”。首列小写英文字母是为横坐标，首栏数目字是为纵坐标。上表形成多个级数，主要之级数乃从右上角至左下角，颜色相同之方格形
成一数列，上图有级数由“元”至“七乘垛”﹝原图表达至“十二乘垛”﹞，其余级数可类推。〈三角垛表〉有以下之性质：某方格至右上格数之
和在其右下方之格，例如：1i+2h+3g=1+1+1=4h=3，又5m+6l+7k+8j
=1+5+15+35=56=9k，此即为斜L字形加法。《十三种》进一步说明此表之特色曰：右表向左斜行而下
，各乘垛每层之积也。向右斜行而下，各层递增之数也。欲知某垛每层之积，视乘数层数二行相交之格即是。如欲知五乘垛七层之积，视五乘垛行与
七层行相交之格为四百六十二，即其积也。例如求五乘垛第七层之积，先从五乘垛﹝6n﹞画对角线斜线﹝从右上至左下﹞，又从第七层之7c
画对角线斜线﹝从左上至右下﹞，相交之方格为12h，此格之数为462，即五乘垛第七层之积为462﹝见下图两斜线相交之方格﹞。a
bcdefghijklmNopq元11一211二3121三41331四514641五615101051六71615201561七8
17213535217191828567056288110936841261268436911104512021025221012
04510125516533046246233016555136622049579292479249522066为节省篇幅起见，〈
三角垛表〉可改列成下表。所有级数垂直排列，A为元，B为一乘垛，C为二乘垛，D为三乘垛，……。元一乘二乘三乘四乘五乘六乘七
乘八乘九乘十乘十一乘十二乘十三乘ABCDEFGHIJKLMN1----------------------------------
-----11------------------------------------121-------------------
--------------1331------------------------------14641------------
------------15101051------------------------1615201561-----------
----------172135352171------------------18285670562881-----------
----193684126126843691------------1104512021025221012045101------
---1115516533046246233016555111------1126622049579292479249522066
121---11378286715128717161716128771528678131第2节三角垛积算法注意以下之“垛”及
相关之积公式：太垛：10,20,30,40,50,…，即1,1,1,1,1,…﹝n个1﹞，其积为n。元
垛：11,21,31,41,51,…，即1,2,3,4,5,…n，其积为n(n+1)。一乘方垛：12,
22,32,42,52,…n2，其积为n(n+1)(2n+1)。二乘方垛：13,23,33,43,5
3,…n3，其积为n2(n+1)2。三乘方垛：14,24,34,44,54,……n4，其积为(6n5+
15n4+10n3–n)即n(n+1)(2n+1)(3n2+3n–1)。四乘方垛：15,25,3
5,45,55,……n5，其积为n2(n+1)2(2n2+2n–1)。以下为〈三角垛表〉各垛之通项及积﹝设各
垛之积为f(n)，为求〈三角垛表〉之公式须用以上之公式﹞，李善兰称之为“有高求积术”：元垛之级数为1,1,1,1,……
n，第n项和为n。为配合答案之一般形式，写成：n。B.一乘垛：1,2,3,4,……n，第n项和为1+
2+3+4+5+……+n==(n+1)n。为配合答案之一般形式，写成：n(n+1)。以上之式即
《十三种》曰：一乘垛置高，以高加一乘之为实，二为法，得积。“高”即“层数”即第n项。“实”即分子或被除数，“法”即分母或除数
。C.二乘垛：1,3,6,10,……n，第n项和为1+3+6+10+……+(n+1)n。
f(n)=(r+1)r=(r2+r)=n(n+1)(2n+1)+(n+1)n=n(n+1)
[2n+1+3]=n(n+1)(2n+4)=n(n+1)(n+2)。为配合答案之一般形式，写成：n(
n+1)(n+2)。以上之式即《十三种》曰：二乘垛置高，以高加一乘之又以高加二乘之为实，二三相乘为法，得积。以下为元垛、一
乘垛及二乘垛图：D.三乘垛：1,4,10,20,……n(n+1)(n+2)，第n项和为1+4+1
0+20+……+n(n+1)(n+2)=f(n)=r(r+1)(r+2)=(r3+3r2
+2r)=[n2(n+1)2+3×n(n+1)(2n+1)+n(n+1)]=n(n+1)[n(
n+1)+2(2n+1)+4]=n(n+1)[n2+n+4n+2+4]=n(n+1)(
n2+5n+6)=n(n+1)(n+2)(n+3)。为配合答案之一般形式，写成：n(n+1)(n+2
)(n+3)。以上之式即《十三种》曰：三乘垛置高，以高加一乘之，又以高加二乘之，又以高加三乘之为实，二三四连乘为法，得积。E.
四乘垛：1,5,15,35,…n(n+1)(n+2)(n+3)。从以上之规律可知：f(n)=1+5
+15+35+…+n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n
+4)。以上之式即《十三种》曰：四乘垛置高，以高加一乘之，又以高加二乘之，又以高加三乘之，又以高加四乘之为实，二三四五连乘为法
，得积。以下为元垛、三乘垛及四乘垛图：F.五乘垛：1,6,21,56,…n(n+1)(n+2)(n+3)(
n+4)。从以上之规律可知：f(n)=1+6+21+56+…+n(n+1)(n+2)(n+
3)(n+4)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)。现返回上页《十三种》之例：如欲知五
乘垛七层之积，视五乘垛行与七层行相交之格为四百六十二，即其积也。因五乘垛各数为n(n+1)(n+2)(n+3)(n
+4)，“七层”即n=7。将7代入公式即：n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=×7×8×9
×10×11=462。所得之答案合﹝见前图﹞。以下为一般情况：今设p乘垛之第r项为r(r+1)(r+2)(r
+3)…(r+p–1)，其第n项和为r(r+1)(r+2)(r+3)…(r+p–1)=
n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+p)。李善兰称以上之法为“迭元法”。可写成现代数学符号：=------------(1)。若p+1乘垛之第r项为r(r+1)(r+2)(r+3)…(r+p)，则其第n项和为r(r+1)(r+2)(r+3)…(r+p)=n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+p+1)。亦可写成现代数学符号：=------------(2)。此即为李善兰之“三角垛”公式，(1)和(2)其实相同。以下为《十三种》之原文：相加也。 |
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