第6讲数形结合——数轴压轴题
【板块一】数轴上的行程问题
方法技巧
此类问题一般已知起点、路程（距离）、速度，在运动后满足一定距离条件，求点运动后所表示的数．一般较为简单的问题可用算术方法先求运动时间，再求运动路程，从而得点表示的数，此类问题一般有多种情况，注意分类讨论，但这里建议采用设未知数，用绝对值表示数轴上两点间的距离的方法列式计算，一来比较简洁通用，二来不易掉解，这类问题也可能交换部分题设和结论反过来求，方法反之亦然.
【例1】如图，数轴上A，B两点所对应的数分别为－8，4，A，B两点各自以一定的速度同时运动，且点A运动速度为2个单位/秒.
（1）若A，B两点相向而行，在原点处相遇，求点B运动的速度
（2）若A，B两点从开始位置上同时按照（1）中的速度向数轴正方向运动，多少秒钟后，A，B与原点距离相等？
【例2】如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数为－10，点B对应的数90．现有一电子蚂蚁P从A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子妈蚁Q恰好从B点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子妈蚁在数轴上相距20个单位？
针对练习1
1．已知，在一条东西向的双轨铁路上理面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向东方向为正方向面数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速维续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且│a＋8│与（b－16）2互为相反数.
（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？
（2）从此时刻开始算起，同再行驶多少秒钟，两列火车的车头A，C相距8个单位长度？
（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟内，他的位置P到两列火车头A，C的距离和加上到两列火车超B，D的距离和是一个不变的值（即PA＋PB＋PC＋PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值：若不正确，请说明理由.
【板块二】数轴上的和差倍分问题
方法技巧
此类问题一般由一些已知点和未知点（或者已知点运动形成未知点）构成，它们的距离满足一定数量关系，如和差倍分等，根据条件计算未知点表示的数，此类问题一般可采用设未知数，用绝对值表示出数轴上两点间的距离，再根据距离之间的数量关系列方程计算的方法.
【例3】如图，数轴上点A，B表示的数分别为－10和10，C为数轴上一点
（1）若AC＋BC＝28，求C点表示的数；
（2）若2AC＝3BC，求C点表示的数.
【例4】如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足
a＋3＋（b＋3a）2＝0，设P从A点出发以3个单位每秒向右运动，点Q同时从B点出发以2个单位每秒向左运动，当AP＋BQ＝2PQ时，求运动时间．
【分析】设时间为t秒，由绝对值和平方的非负性先求出A、B两点表示的数，然后用含t的式子表示出P、Q两点表示的数，进而表示出AP、BQ、和PQ，根据AP＋BQ＝2PQ建立方程求解．
针对练习2
1．数轴上，A、B两点表示的数分别为－4和3．
（1）点C在数轴上，点C到A、B两点的距离之和为11，求点C在数轴上所对应的数；
（2）若A点、B点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，且3秒后，2OA＝OB，求点B的速度．
【板块三】数轴上的动点定值问题
方法技巧设参计算法
设动点表示的数（若是行程问题一般设运动时间），从而表示出线段长（两点间的距离），计算可解．
【例5】如图，在数轴上A、B、C三点表示的数分别为－10、10、50，A、B、C三点同时运动，点A以1个单位每秒的速度向左运动，点B、C分别以2个单位、5个单位每秒的速度向右运动，请问：BC－AB的值是否随时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
6如图，数轴上A、B两点所对应的数分别为－84,A、B两点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发也向数轴负方向运动，且C点总在A、B两点之间，并在运动过程中始终有，设运动t秒钟后，点A、B、C运动后的对应点分别为A1、B1、C1下列两个结论：①AA1＋BB1;②的值不变，请选择正确的结论，并求其值.
例7如图，点A在数轴上表示的数为－10C、D为数轴上两个动点，点D在点C的右边，且CD＝16,MAD中点，N为AC的中点，当C、D运动时，M、N两点的距离即MN的长是否改变？若不变求出其值；若变化说明理由.
针对练习3
如图，已知数轴上有A、B、C三个点，他们表示的数分别为是18,8,－10
(1)填空：AB＝
(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向左运动，试探索：BC－AB的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由；
(3)现有动点P,Q都从A点出发，点P,以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A出发，并以每秒3个单位的速度向左移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动，设点P,移动的时间为t秒，试用含t的代数式表示P,Q两点间的距离。
2．如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且|a＋20c－30
(1)求a，c的值；
(2)若数轴上有一点D满足CD＝2AD，则点D表示的数为＿＿＿．
(3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度是每秒1个单位长度．同时A，B在数轴上运动，点A，点C的速度分别为每秒2个单位长度、每秒3个单位长度，运动时间为t秒．
①若点A向右运动，点C向左运动，AB＝BC，求t值；
②若A向左运动，点C向右运动，2AB－m·BC的值不随时间t的变化而变化，直接写出m的值；
3．如图1，已知数轴上有三点A，B，C，AB＝AC，点C对应的数200．
(1)若BC＝300，求点A对应的数；
(2)在(1)的条件下，如图2，若点E，D对应的数分别为－800，0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10个单位/s、5个单位/s，点M为线段PQ的中点，点Q在从点D运动到A的过程中，－AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变，说明理由．
4.如图，在数轴上A，B两点对应的书为－4020，数轴上一点P对应的数为x。
(1)点P在A，B两点之间，则点P到A，B两点的距离的和为60。
(2)如图，数轴上一点Q在点P的右侧，且与P始终保持15个单位长度，当x满足什么条件时，点A与点P的距离，点B与点Q的距离的和为45。
(3)结合对前面的问题思考，请判断y满足什么条件时(|x＋40|＋|x－20|)(|y|＋|y－15|)≤900
5.已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足|a＋20|＝b－13）2，点C对应的数为16，点D对应的数为－13．?（1）求a，b的值；?（2）点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为6个单位/秒，点B的速度为2个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值；?（3）在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发．当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动，当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上对应的数．
6.已知a，b满足|4a—b|＋(a—4)20，a，b分别对应着数轴上的A，B两点.
(1)a＝，b＝，并在数轴上画出A，B两点；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
(3)数轴上还有一点C的坐标为30.若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动.P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A.求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数.
7.如图1，点A，B，0，C为数轴上的四点，点A对应数a(a＜—2)，点O对应0，点C对应3，AB＝2.(AB表示点A到点B的距离）
(1)填空：点C到原点O的距离3，点B对应的数a＋2(用含有a的式子）
(2)如图2，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“6cm”和“8.7cm”分别对应数轴上的点O和点C.若BC＝5求a的值和点A在刻度尺上对应的刻度.
(3)如图3在（2)的条件下，点A以1单位长度/秒的速度向右运动，同时点C向左运动.若运动3秒时，点A和点C到原点O的距离相等，求点C的运动速度.
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