【原】考研数学（一）第三部分概率论与数理统计章节练习（上）

江南博哥 2022-01-11

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考研数学（一）第三部分概率论与数理统计章节练习（上）

（江南博哥）

第一节随机事件和概率

第二节随机变量及其分布

第三节多维随机变量及其分布

第一节随机事件和概率

1 [单选题] 对任意两个事件A和B，若P(AB)=0，则（）．

A.P(A)P(B)=0

B.P(A-B)=P(A)

C.=∅

D.AB=∅

正确答案：B

参考解析：

由P(AB)=0，得P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)．

2 [单选题] 设A，B是两个随机事件，且0<P(A)<1，P(B)>0，P(B|A)=P(B|)，则下列选项正确的是（）．

A.P(A|B)-P(|B)

B.P(A|B)≠P(|B)

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(AB)≠P(A)P(B)

正确答案：C

参考解析：

3 [单选题] 有一根长为L的木棒，将其任意折成三段，记事件A={中间一段为三段中的最长者)，则P(A)=（）．

正确答案：B

参考解析：

此问题是几何概型．

设折得的三段长度依次为x，L—x—y，y，则样本空间为

4 [单选题] 设事件A，B，C两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是

A.AB和BC独立．

B.A∪B和B∪C独立．

C.A-B和C独立．

D.A-B和B-C独立．

正确答案：C

参考解析：

A，B，C两两独立，只要满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)就有A，B，C相互独

5 [单选题] 对任意两个事件A和B，若P(AB)=0，则( )．

A.AB=∅

B.=∅

C.P(A)P(B)=0

D.P(A-B)=P(A)

正确答案：D

参考解析：

选(D)，因为P(A-B)=P(A)-P(AB)．

6 [单选题] 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t₀，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T₍₁₎≤T₍₂₎≤T₍₃₎≤T₍₄₎为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于( )．

A.{T₍₁₎≥t₀}

B.{T₍₂₎≥t₀}

C.{T₍₃₎≥t₀)

D.{T₍₄₎≥t₀}

正确答案：C

参考解析：

{T₍₁₎≥t₀)表示四个温控器温度都不低于临界温度t0，而E发生只要两个温控器温度不低于临界温度t₀，所以E={T₍₃₎≥t₀}，选(C)．

7 [单选题] 设A，B为任意两个不相容的事件且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论正确的是( )．

A.≠∅

B.=∅

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(A-B)=P(A)

正确答案：D

参考解析：

因为A，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A-B)=P(A)，选(D)．

8 [单选题] 设0<P(A)<1，0<P(B)<1，且P(A|B)+P(A|B)-1，则下列结论正确的是( )．

A.事件A，B互斥

B.事件A，B独立

C.事件A，B不独立

D.事件A，B对立

正确答案：B

参考解析：

9 [单选题] 设A，B，C是相互独立的随机事件，且P(A)≠0，0<P(C)<1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是( )．

A.与C

B.与

C.与

D.与

正确答案：B

参考解析：

10 [单选题] 以下命题正确的是( )．

A.若事件A，B，C两两独立，则三个事件一定相互独立

B.设P(A)>0，P(B)>0，若A，B独立，则A，B一定互斥

C.设(A)>0，P(B)>0，若A，B互斥，则A，B一定独立

D.A，B既互斥又相互独立，则P(A)=0或P(B)=0

正确答案：D

参考解析：

当P(A)>0，P(B)>0时，事件A，B独立与互斥是不相容的，即若A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，则A，B不互斥，若A，B互斥，则P(AB)=0≠P(A)P(B)，即A，B不独立，又三个事件两两独立不一定互相独立，D正确。

11 [单选题] 若事件A₁，A₂，A₃两两独立，则下列结论成立的是( )．

A.A₁，A₂，A₃相互独立

B.₁，₂，₃两两独立

C.P(A₁A₂A₃)=P(A₁)P(A₂)P(A₃)

D.₁，₂，₃相互独立

正确答案：B

参考解析：

12 [单选题] 设A，B为两个事件，且P(A)=2/3，P(B)=1/2，P(AB)=1/3，则A与B之间的关系是（）

A.A包含B

B.A与B相互独立

C.A与B相互对立

D.A与B互不相容

正确答案：B

参考解析：

除独立性以外，由概率计算的结果不能推断事件之间的其他关系，而题目中4个选项中就有3个是由概率式对事件包含关系、对立关系、互不相容(互斥)关系的推断，均应排除，因此，唯一可选择的是选项(B)，由P(A)(B)=(2/3)*(1/2)=1/3，P(AB)=1/3，P(A)P(B)=P(AB)，容易验证选项(B)正确，故选(B)．

13 [单选题] 设A，B是任意两个事件，且A⊂B，P(B)>0，则必有（）

A.P(A)≤P(A|B)

B.P(A)<P(A|B)

C.P(A)≥P(A|B)

D.P(A)>P(A|B)

正确答案：A

参考解析：

由于A⊂B，因此AB=A，而0<P(B)≤1，所以P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)≤P(A|B)，所以选A

14 [单选题] 设事件A，B满足AB=∅，则下列结论中一定正确的是( )．

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(A-B)-P(A)

正确答案：D

参考解析：

15 [单选题]

正确答案：A

参考解析：

16 [单选题]

D.1

正确答案：B

参考解析：

17 [单选题]

A.必相互独立

B.两两独立但不一定相互独立

C.不一定两两独立

D.必不两两独立

正确答案：A

参考解析：

18 [填空题]

设P(A)=0.1，P(B|A)=0.9，P(B|)=0.2，则P(A|B)=_______.

参考解析：

【解析】

19 [填空题]

设在三次独立重复试验中，事件A发生的概率相等，若已知A至少出现一次的概率为，则A在一次试验中发生的概率p_______．

参考解析：

【解析】

依题设，本题为伯努利概型．

设每次试验中事件A发生的概率为P，事件A发生的次数为k(k=0，1，…，n)，则A至少发生一次的概率P{k≥1}=1-(1-p)ⁿ，解得

20 [填空题]

设P(A)=0.5，P(B)=0.7，则P(A∪B)的最大值与最小值分别是_______．

参考解析：

1，0.7

【解析】

21 [填空题]

设进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为P，则在试验成功2次之前已经失败3次的概率为．

参考解析：

4p²(1-p)³

解令A=(试验成功2次之前已经失败3次}，A₅={第5次试验成功)，B₃={试验4次失败3次)．

依题设，A₅与B₃独立，且A=A₅B₃，而

22 [填空题]

一射手对同一目标独立地进行4次射击．若至少命中一次的概率为15/16，则该射手对同一目标独立地进行4次射击中至少没命中一次的概率为_____．

参考解析：

【解析】

可以把射击看成独立重复试验，设每次射击命中率为P，则不中率为1-P．记A=“四次中至少命中一次”，B=“四次中至少没中一次”．

23 [填空题]

设P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则P(A+B)=_____．

参考解析：

因为P(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8

24 [填空题]

设A，B为两个随机事件，且P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则P()=_______．

参考解析：

25 [填空题]

设P(A)=0.4，且P(AB)=P()，则P(B)=_______．

参考解析：

26 [填空题]

设事件A，B，C两两独立，满足=ABC=∅，P(A)=P(B)=P(C)，且P(A+B+C)=，则P(A)=_______．

参考解析：

27 [填空题]

从n阶行列式的展开式中任取一项，此项不含a₁₁的概率为，则n=_______．

参考解析：

n阶行列式有n!项，不含a₁₁的项有(n-1)(n-1)!个，

28 [填空题]

参考解析：

令A_k={第k个零件不合格)(k=1，2，3)，

29 [填空题]

设P(A)=0.6，P(A)=0.2，P(B)=0.3，则P(A+|)=_______．

参考解析：

30 [填空题]

设A，B相互独立，只有A发生和只有B发生的概率都是，则P(A)=_______．

参考解析：

31 [填空题]

已知甲、乙两袋中装有同种球，其中甲袋中装有10个红球和10个白球，乙袋中装有10个红球．从甲袋中一次性取10个球放入乙袋，则从乙袋中任取一球是白球的概率为____．

参考解析：

【解析】

由事件的背景可知，记X={乙袋中自球个数}={从甲袋中一次性取10个球中白球个数)，故X的概率分布为

32 [简答题]

设A，B是两个随机事件，证明： 1-P()-P()≤P(AB)≤P(AUB)≤P(A)+P(B)．

参考解析：

33 [简答题]

设甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和4个白球，掷一枚均匀的硬币，若正面出现，则从甲盒中任取一球，若反面出现，则从乙盒中任取一球，设每次取出的球观看颜色后放回原盒中．

(Ⅰ)若前两次都取得红球，求第三次也取得红球的概率；

(Ⅱ)若前两次都取得红球，求红球都来自甲盒的概率．

参考解析：

(Ⅰ)设A_i={第i次取得红球}(i=1，2，3)，Bj={第j次掷硬币出现正面)(j=1，2，3)．

依题设，易知B_j为第j次从甲盒中取球．将“掷一次硬币，再由硬币出现的结果从相应的盒中取出”看作一次试验，则每次试验是重复的，且相互独立，所以它们的结果A₁，A₂，A₃是相互独立的，且P(A_i)=P(A₁)，i=1，2，3，

故所求概率为P(A₃|A₁A₂)=P(A₃)=P(A₁)．

(Ⅱ)

34 [简答题]

设一批产品中有15％的次品，进行独立重复抽样检验，若抽取20个样品，则抽出的20个样品中，可能性最大的次品数是多少?并求其概率．

参考解析：

设X={抽取20个样品中的次品数)，则X～B(20，0．15)．所求问题是，当k

35 [简答题]

袋中有12只球，其中红球4个，白球8个，从中一次抽取两个球，求下列事件发生的概率：

(1)两个球中一个是红球一个是白球；

(2)两个球颜色相同．

参考解析：

(1)

(2)

36 [简答题]

现有三个箱子，第一个箱子有4个红球，3个白球；第二个箱子有3个红球，3个白球；第三个箱子有3个红球，5个白球；先取一只箱子，再从中取一只球．

(1)求取到白球的概率；

(2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率．

参考解析：

(1)

(2)

37 [简答题]

袋中有a个黑球和b个白球，一个一个地取球，求第k次取到黑球的概率(1≤k≤a+b)．

参考解析：

方法一

38 [简答题]

甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为60％和50％．

(1)甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；

(2)甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标被击中。求是甲击中的概率．

参考解析：

(1)设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}，C={击中目标}，则C=A+B，

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=0.6+0.5-0.6×0.5=0．8．

(2)设A₁={选中甲)，A₂={选中乙)，B={目标被击中}，则

39 [简答题]

从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，求P{Y=2}．

参考解析：

40 [简答题]

设有大小相同、标号分别为1，2，3，4，5的五个球，同时有标号为1，2，…，10的十个空盒．将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放多个球，计算下列事件的概率：

(1)A={某指定的五个盒子中各有一个球)；

(2)B={每个盒子中最多只有一个球)；

(3)C={某个指定的盒子不空)．

参考解析：

每个球都有10种放法，所以，基本事件总数(放法总数)为n=105．

(1)5个球放入指定的5个盒子中，事件A包含的基本事件有51个，所以

(2)

(3)

第二节随机变量及其分布

1 [单选题] 设随机变量X₁与X₂的分布函数分别为F₁(x)与F₂(x)，F(x)=aF₁(x)-bF₂(x)是某一随机变量的分布函数，则（）．

正确答案：A

参考解析：

要使F(x)为某一随机变量的分布函数，必须有F(+∞)=1．又由已知，F₁(+∞)=1，F₂(+∞)=1，故a-b=1，即只要a，b的取值满足a-b=1即可．

2 [单选题] 设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，X的分布函数为F(x)，则对任意实数k，有（）．

C.F(-k)=2F(k)-1

D.F(-k)=F(k)

正确答案：B

参考解析：

3 [单选题] 设f(x)为随机变量X的概率密度，则下列选项可作为某一随机变量的概率密度的是（）．

A.f(1-x)

B.f()

C.f(x²)

D.f²(x)

正确答案：A

参考解析：

4 [单选题] 设X₁，X₂，X₃都服从正态分布，且X₁～N(0，1)，X₂～N(0，2²)，X₃～N(5，3²)，p_i=P{-2≤X_i≤2)(i=1，2，3)，则（）．

A.p₃>p₁>p₂

B.p₁>p₃>p₂

C.p₁>P₂>P₃

D.p₂>p₁>p₃

正确答案：C

参考解析：

5 [单选题]

A.e^λ-e^-λ

B.1-e^-λ.

正确答案：B

参考解析：

6 [单选题] 假设随机变量X的概率密度函数f(x)是偶函数，其分布函数为F(x)，则

A.F(x)是偶函数．

B.F(x)是奇函数．

C.F(x)+F(-x)=1．

D.2F(x)-F(-x)=1．

正确答案：C

参考解析：

由于F(x)是单调不减的非负函数，所以(A)、(B)不成立．已知f(x)是偶函数，因

7 [单选题] 假设随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度函数f(x)=af₁(x)+bf₂(x)，其中f₁(x)是正态分布N(0，σ²)的概率密度函数，f₂(x)是参数为λ的指数分布的概率密度函数，已知F(0)=，则

A.a=1，b=0．

B.a=，b=．

C.a=，b=．

D.a=，b=．

正确答案：D

参考解析：

8 [单选题] 设随机变量X～N(μ，σ²)，则P(X-μ<2σ)(　　)．

A.与μ及σ²都无关

B.与μ有关，与σ²无关

C.与μ无关，与σ²有关

D.与μ及σ²都有关

正确答案：A

参考解析：

=(2)-(-2)为常数，所以应选(A)．

9 [单选题] 设X～N(μ，4²)，Y～N(μ，5²)，令p=P(X≤μ-4)，q=P(Y≥μ+5)，则(　　)．

A.p>q

B.p<q

C.p=q

D.p，q的大小由μ的取值确定

正确答案：C

参考解析：

10 [单选题] 设随机变量X，Y的分布函数分别为F₁(x)，F₂(x)，为使得F(x)=aF₁(x)+bF₂(x)为某一随机变量的分布函数，则有( )．

正确答案：D

参考解析：

根据性质F(+∞)=1，得正确答案为(D)．

11 [单选题] X～N(μ，σ²)，F(X)为其分布函数，则随机变量Y=F(X)的分布函数( )．

A.处处可导

B.恰有1个不可导点

C.恰有2个不可导点

D.恰有3个不可导点

正确答案：C

参考解析：

因为F_Y(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}，于是

当y<0时，F_Y(y)=0，

当0≤y<1时，F_Y(y)=P{X≤F^-1(y)}=y，

当y≥1时，F_Y(y)=1，

所以应选择C。

12 [填空题]

设X～N(0，1)，则Y=|X|的概率密度f_Y(y)=_______．

参考解析：

【解析】

13 [填空题]

设随机变量X～N(μ，σ²)，其中d>0，F(x)为X的分布函数，则F(μ-xσ)+F(μ+xa)=_______．

参考解析：

【解析】

14 [填空题]

设离散型随机变量X的分布律为，k=0，1，2，…，则常数a=_______.

参考解析：

【解析】

所以a=e．

15 [填空题]

参考解析：

3≤b<4

【解析】

16 [填空题]

设随机变量x服从参数为2的指数分布，a为大于2的常数，已知P{X≤a|X>2)=1-e^-2，则a=____.

参考解析：

【解析】

解得a=3．

17 [填空题]

设随机变量x～N(μ，σ²)，且方程x²+4x+X=0无实根的概率为1/2，则μ=_______．

参考解析：

18 [填空题]

设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且E[(X-1)(X+2)]=8，则λ=_______．

参考解析：

19 [填空题]

参考解析：

20 [填空题]

等可能地在数轴上的有界区间[a，b]上投点，记X为落点的位置(数轴上的坐标)，则X的概率密度f(x)为______．

参考解析：

【解析】

方法一公式法．直接由区间[a，b]上均匀分布的

21 [填空题]

设随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)(σ>0)，且一元二次方程y²+4y+X=0无实根的概率为，则μ=____．

参考解析：

【解析】

22 [简答题]

的分布函数和概率密度．

参考解析：

用定义法，Y的分布函数为

23 [简答题]

设随机变量x服从λ=2的指数分布，求Y=1-e^-2X的分布函数和概率密度．

参考解析：

24 [简答题]

设连续型随机变量x的概率密度为f(x)，求Y=sinX的分布函数和概率密度．

参考解析：

Y=sinX的值域为[-1，1]．

当-1≤Y<1时，

25 [简答题]

(1)求常数A，B；

(2)求X的密度函数f(x)；

(3)求P(X>)．

参考解析：

(1)因为连续型随机变量的分布函数是连续的，

(2)

(3)

26 [简答题]

设电子管寿命X的概率密度为

若一台收音机上装有三个这种电子管，且是否正常工作相互独立．求：

(1)使用的最初150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；

(2)在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布律；

(3)Y的分布函数．

参考解析：

(1)所求概率为

(2)

(3)Y的分布函数为

27 [简答题]

(1)P{X=0}，P{X=1}；

(2)EX；

(3)Y=F(X)的分布函数．

参考解析：

(1)

(2)

(3)

28 [简答题]

设X是离散型随机变量，其分布函数为

参考解析：

29 [简答题]

设随机变量X服从参数为λ的指数分布，求随机变量Y=1-e^-^λx的概率密度f_Y(y)．

参考解析：

方法一分布函数法．由题设条件知，X的概率密度与分布函数分别为

第三节多维随机变量及其分布

1 [单选题] 设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A-B与C相互独立的充分必要条件是

A.A与B相互独立.

B.A与B互不相容.

C.AB与C相互独立.

D.AB与C互不相容.

正确答案：C

参考解析：

A-B与C独立，即P((A-B)C)=P(A-B)P(C)．

2 [单选题]

A.-1．

B.0．

C.．

D.1．

正确答案：C

参考解析：

3 [单选题]

A.．

B.．

C.．

D.．

正确答案：A

参考解析：

X～B(1，)，X取值只能X=0或X=1，将X=0和X=1看成完备事件组，用全概率公式有

4 [单选题] 设相互独立的两随机变量X，Y均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1<max(X，Y)≤2)的值为

A.1/6

B.1/4

C.1/3

D.1/2

正确答案：C

参考解析：

P{1<max(X，Y)≤2}=P{max(X，Y)≤2}-P{max(X，Y)≤1}

=P{X≤2，Y≤2}-P{X≤1，Y≤1}

=P{X≤2}P{Y≤2}-P{X≤1}P{Y≤1}

=2/3×2/3-1/3×1/3=1/3

5 [单选题]

A. A

B. B

C. C

D. D

正确答案：A

参考解析：

由题意得

6 [单选题] 设X，Y为两个随机变量，P(X≤1，Y≤1)=，P(X≤1)=P(y≤1)=，则P(min(X，Y)≤1)=( )．

正确答案：C

参考解析：

7 [单选题] 设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )．

A.X，Y一定相互独立

B.X，Y的任意线性组合l₁X+l₂Y(l₁，l₂不全为零)服从正态分布

C.X，Y都服从正态分布

D.ρ=0时X，Y相互独立

正确答案：A

参考解析：

因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当ρ=0时，X，Y才相互独立，所以选(A)．

8 [单选题] 设随机变量X，Y都是正态变量，且X，Y不相关，则( )．

A.X，Y一定相互独立

B.(X，Y)一定服从二维正态分布

C.X，Y不一定相互独立

D.X+Y服从一维正态分布

正确答案：C

参考解析：

只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y独立才与X，Y不相关等价，由X，Y仅仅是正态变量且不相关不能推出x，Y相互独立，(A)不对；若X，Y都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但X，Y不一定相互独立，(B)不对；当X，Y相互独立时才能推出X+Y服从一维正态分布，(D)不对，故选(C)．

9 [单选题] 设随机变量X，Y相互独立且均服从参数为1的指数分布，则( )．

A.P{X=Y)=1

B.P{X<Y}=0

C.P{X=Y}=0