数学爱好者说，一个问题或定理的文本越短，它的解或证明越长，这个问题或定理就越漂亮。数学哲学家和历史学家说，定理（作为猜想）被证明的时间越长，它对数学的发展以及对数学本质和基础的探究就越重要。数学史证明他们在这方面是正确的。为了解决这些猜想，数学家们已经挣扎了几十年，甚至几百年，几千年。他们被敦促把现有的不同性质、结构和语言的数学理论联系起来，甚至创造出比这些猜想更复杂的新理论。随着新的联系、结构、概念框架和内容的增加，它们促进了数学本身和科学的适用性的增加。这篇文章，我列出了10个基于基础数学的猜想——即在基础代数、数论、欧几里得几何和基本几何拓扑中。这些猜想都是经过至少几十年才被证明。也被称为阿贝尔不可能定理，它表明五次或更高次的一般多项式方程不存在一般代数解（即根式解）。该猜想起源于1799年高斯的研究，同年保罗·鲁菲尼首次尝试解决该猜想。然而，鲁菲尼的解对于当时的伟大数学家（包括柯西）来说并不是令人信服的，因为使用的激进式的定义是不完整的。N. H.阿贝尔被认为是该猜想的证明者（1824年）。他的证明是基于伽罗瓦理论的一些结果；然而，这个理论在证明的时候还没有具体化。几年后，在J.刘维尔的合著下，伽罗瓦的理论发表了，并被公认为在方程理论方面带来了重大发现。1963年，V. Arnold提供了Abel-Ruffini定理的拓扑证明，奠定了拓扑伽罗瓦理论的基础。希尔伯特在1900年提出了著名的“23个数学问题”，其中第十七个问题是：给定一个只在实数上取非负值的多变量多项式，这个多项式能被表示为有理函数的平方和吗？ 这个问题起源于1885年H. Minkowski（闵可夫斯基）的博士论文答辩，他认为存在着实多项式，它们在整个R^n上是非负的，不能写成实多项式的有限平方和。希尔伯特在1893年解决了n = 2的特殊情况，E. Artin在1927年用有序域的Artin- schreier理论肯定地解决了一般问题，并应用于代数群理论和模型理论。这个猜想最早是由P·德·费马在1640年写给他朋友的信中提出的，它说，如果p是素数，那么对于任何整数a，整数a^p - a是p的倍数。在组合、多项式、动力系统、模运算或群论项中，这个定理得到了一些证明。欧拉在1736年首次发表了一个证明（用模运算）。然而，在1683年之前，莱布尼茨在一份未发表的手稿中留下了同样的证明。该定理是数论的一个基本结论，是一个重要的质数检验。这个定理的一个直接推广是数论中的欧拉定理。这一定理最相关的理论应用是在群论中；至于实际应用，其中一个是密码学。在拓扑学中，庞加莱猜想是一个描述3维球（在四维空间包围单位球的超球）的命题，它说每一个单连通的、封闭的3维流形与3维球是同胚的。换句话说，对于一个局部看起来像三维空间，但是连接的空间，有限的大小，没有任何边界的空间，如果这样的空间具有空间中的每一个环都可以连续地收紧到一个点的特性，那么它必然是一个三维球体。亨利·庞加莱在1904年提出了这个猜想，并在2000年被评为千禧年奖问题之一。在20世纪50年代和60年代，其他数学家尝试证明这个猜想。1958年，R. H. Bing证明了Poincaré猜想的一个弱版本：如果一个紧凑的3维流形的每个简单闭曲线都包含在一个3维球中，那么这个流形与3维球是同胚的。俄罗斯数学家佩勒曼以汉密尔顿的里奇流理论为基础，利用Cheeger、Gromov和Perelman自己在度规空间上的结果，提出了一个完整的解决方案。该解决方案在2002年至2003年间在网上发布了三份预印本，并在2006年进行了审查和确认。佩勒曼因其工作而被授予菲尔兹奖章。庞加莱猜想属于代数拓扑的早期历史。将该猜想推广到更高维度（已被证明）与黎曼几何中的变形概念有关，对万有引力和宇宙学具有启示和应用。该定理指出，四种颜色足以为任何地图上色，使两个相邻的区域不会共享相同的颜色。这个猜想是由弗雷德里克·格思里在1852年向他的教授、数学家奥古斯都·德·摩根提出的，后者将这个猜想公之于众，并对其解决方案做出了贡献。在第二阶段，数学家们专注于寻找技术，将复杂的地图简化为一组可测试的可分类案例。最初，这个集合被认为包含将近9000个成员，所以数学家们求助于计算机技术来编写可以为他们做测试的算法。1976年，阿佩尔和哈肯将测试问题简化为1936个构型，并在计算机的帮助下实现了四色猜想的完整解决方案。该定理在图论中得到了证明，欧拉公式起到了关键作用；然而，随着时间的推移，射影几何、结论、拓扑学和组合学对证明做出了贡献。数学家 Catalan在1844年推测，8和9是唯一的连续幂，即换句话说，（8，9）是方程x^p - y^q =±1的唯一非平凡解。早在Catalan前500年，Levi ben Gerson就已经提出，平方数和3次方数相差为1的唯一满足条件的是8和9。Hyyrő和马可夫斯基证明了不存在三个连续的幂。蒂伊德曼在1976年指出，如果猜想不成立，可能只有有限数量的例外。M. Mignotte在1999年证明，如果存在非平凡解，则p < 7.15 x 10^11和q < 7.78 x 10^16。罗马尼亚数学家P. Mihăilescu于2002年在发给多位数学家的手稿中解决了该猜想，并于2004年发表。该解利用了切圆场理论和伽罗瓦模。Catalan猜想的推广应用于复数理论。其他的应用是在伽罗瓦群理论中。
费马在1637年提出的猜想说，对于任何大于2的整数n，都不存在a, b, c这样的正整数满足a^n + b^n = c^n。这是数学史上最著名的定理之一，它可以用多种方法等价地表达出来，无论是在数论中还是在椭圆曲线理论中。费马只是在n = 4的特殊情况下证明了这个猜想；然而，这产生了一个重要的简化，即充分证明指数n为质数的猜想。然后，数学家们花了350年的时间来寻找一个证明，他们中的许多人都取得了进展。在费马的部分证明之后的两个世纪里，这个猜想只在质数3、5和7上得到了证明。在19世纪中叶，E. Kummer证明了所有正则质数都是如此。最后的证明是由A.怀尔斯在1995年提出的，他用伽罗瓦表示代替了椭圆曲线。这一证明为他带来了2016年的阿贝尔奖。在寻找解的过程中，我们发现了椭圆曲线和模形式这两个完全不同的数学领域之间的联系。这个问题及其解决方法促进了代数数论的发展和模性定理的证明。
1611年，天文学家约翰内斯·开普勒提出了这一猜想，该猜想与三维空间中的球体堆积有关：它说，填充空间的同等大小的球体的平均密度，都比不上立方体紧密堆积和六边形紧密堆积的球体的平均密度。高斯在1831年证明，如果球体排列在一个规则的晶格中，这个猜想是正确的。1900年，希尔伯特将该猜想列入了他著名的23个未解数学问题清单中。1953年，托特表明，确定所有排列的最大密度的问题可以简化为有限数量的计算。这意味着，在一台足够快的计算机的帮助下，穷竭证明是可能的。根据这个想法，黑尔斯将线性规划方法应用到5000多个球体构型的函数上，并在1998年宣布他的证明已经完成。该证明还广泛地依赖于全局优化理论和区间算法的方法。这对黑尔斯来说还不够。2014年，他和21名合作者一起完成了为开普勒猜想寻找正式证明的项目，该项目可以通过自动证明检查软件进行验证。虽然开普勒猜想看起来像一个娱乐数学问题，但它与其他涉及各种优化模型的几何拓扑问题有关联。这个猜想是迄今为止等待证明时间最长的猜想，它具有实际应用和哲学意义。它说正六边形网格是把一个表面划分成面积相等且总周长最小的区域的最好方法。它也可以用二维空间中具有光滑曲线的有限图来表示。这个问题的起因还不清楚；马科斯·特伦提乌斯·瓦罗在公元前36年左右的一篇文章中提到过它；然而，据推测，齐纳多鲁斯更早的作品《等距图》（约公元前180年）可能提到过它。同样是黑尔斯在1999年提供了证据。证明的关键引理是周长面积的“等周”估计，证明是基于有限簇的缩减。该定理及其推广在优化空间、物理结构和材料浪费方面有直接的应用，例如在建筑方面。将该定理推广到描述蜜蜂蜂巢形状的三维空间中，成为科学哲学中争论的话题。因为在物理上，它回到了进化的事实，六边形的形状。当蜜蜂为一个给定的蜂巢消耗最少的蜂蜡时，科学哲学家们就这一事实的解释性质提出了几个问题：这是一种真正的数学解释，还是生物学解释，还是两者的结合？蜜蜂（和一般的动物）是否具有由进化所提供的符合形式数学的感性数学知识？为什么蜜蜂“知道”这个猜想的真相，而人类却要等上两千多年才能证明呢?
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