运行时点击“刘徽割圆术”,或刘徽按钮,可放映刘徽简介第一章二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第二节
机动目录上页下页返回结束数列的极限一、数列的概念引例.一尺之棰，日截其半，万世不竭。
刘徽目录上页下页返回结束二、数列的极限1.数列极限的描述性定义（定义1）当n无限增大时，数
列的通项无限接近常数a，则称收敛，其极限为a，记为定义.按一定次序排列的无穷多个数
x1,x2,…xn…称为无穷数列,简称数列.记作.称为数列的通项.例如,趋势不定收敛发
散机动目录上页下页返回结束设有数列机动目录上页下页返回结
束2.数列极限的严格定义（ε-N）都成立，则称常数a是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于a，记为例2.已知证
明数列的极限为1.证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返
回结束例3.证明例4.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就
有故的极限为0.机动目录上页下页返回结束(2).把数列看坐标轴上的点3.数列
极限的几何解释1）数列的几何表示(1).把数列看成整标函数:xn=f(n)2）数列极限的几何解释三、收敛数列的性质
证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有使当
n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式机动
目录上页下页返回结束例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列收敛
,则有唯一极限a存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1
的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.机动目录上页下页返回结束2.
收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立
.例如,虽有界但不收敛.有数列机动目录上页下页返回结束3.收敛数列的保号性.若
且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动目录上页下页返
回结束4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列
的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明
机动目录上页下页返回结束由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限
,例如，发散!则原数列一定发散.机动目录上页下页返回结束说明:内容小结1.
数列极限的“?–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极
限机动目录上页下页返回结束作业习题1-21（1,2,3,4）2（1,2）思考与练
习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时
,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处机动目录上页下页返回结
束故极限存在，备用题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动
目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.设证:
显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学
家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上
作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而
无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.?的方法:柯西(1789–1857)
法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《
分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分
析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,运行时点击“刘徽割圆术”,或刘徽按钮,可放映刘徽简介 |
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