第等腰三角形（一）数学思想与求角
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等腰三角形两底角相等（等边对等角）
1．等腰三角形顶角处的外角等于底角的2倍
2．多边形内角和计算公式：（n2）180°．
【板块一】整体思想求角
方法技巧
和为定值时可用整体思想求解单角的度数；也可已知单角度数求角的和或差的度数
2．在共顶点的双等腰三角形的图形中，关注隐含的三角形全等，运用全等导角
3．当整体代换不明朗时，可以引入参数x，y进行代数运算，整体求值
【例1】如图，△ABC中，ABAC，∠A＝50°，P为△ABC内一点，∠PBC∠PCA，求∠BPC的度数
【对练1】如图，△ABC中，D为AB上一点，∠FDE的两边分别交直线AC，BC于点F，E，若AFAD，BDBE，∠FDE30°，求∠ACB的度数
【例2】如图，△ABC和△DEC均为等边三角形，∠ADB80°．
求证：△DAC≌△EBC
求∠DBE的度数
【例3】如图，OAOB＝OC，∠AOB20°，∠BOC2∠BAC，求∠ACB的度数
【例4】如图，∠ACD∠BED＝90°，AC＝DC，BE＝DE，点E在AC上，求∠CDE＋∠EBA的度数
【对练2】如图，∠ACD∠BED＝40°，AC＝DC，BE＝DE，点E在AC上，求∠CDE＋∠EBA的度数
针对练习1
1．已知∠A∠D，ABAC，∠DBC＋∠DCA70°，则∠A的度数
2．如图，O是四边形ABCD内一点，OAOB＝OC，∠D50°，∠OAD＋∠OCD2∠ABC，求∠AOC的度数
3．如图，ABAC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°，若∠DCA130°，求∠BDC的度数
4．如图，△ABC于△EDC均为等边三角形，且∠EBD70°，求∠AEB的度数
5．如图，△ADC与△DEB均为等腰三角形，ACCD，ED＝EB，点E在CA延长线上，∠DEB∠C，连接AB，若∠CDE∠ABE＝75°，求∠C的度数
【板块二】方程思想求角度
方法技巧
等腰三角形求角度问题主要有一个等腰三角形或多个等腰三角形接力型或共顶点型及镶嵌接力型等复杂问题要寻找角度之间的联系，巧设未知数，根据几个角的和或两个角之间的关系列方程（组）求解，关注三角形的外角和内角的关系
【例5】如图，△ABC中，∠A∠ABC，DE垂直平分BC于点D，交AC于点E
若AB5，AC8，求△ABE的周长；
若BEBA，求∠C的度数
【例6】如图，ABAC，D为BC上一点，BDAB，E为AD延长线上一点，DCCE，AE＝AC．
求∠ABC的度数；
求证：ABDE＋EC
【例7】如图，∠MAN16°，点A1在AM上，在AN上任取一点A2，使A2A1AA1，再在AM上取一点使A3A2A2A1，，如此一直作下去，则不能再作为止那么作出的最后一点是（）
AA5B．A6C．A7DA8
【例8】如图，在Rt△ACB90°，DE垂直平分AB交BC于点E，交AB于点D，CDDB，点F在CD上，EFEC．
求证：△AEC≌△BEF；
（2）若∠DFB3∠DBF，求∠DEB的度数
针对练习2
1．如图，在△ABC中，ABAC，∠BAD30°，ADAE，求∠EDC的度数
2．如图，在△ABC中，ABAC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数
3．如图，在△ABC中，ABAC，点D在AC上，点E在AB上，BDBC＝BE，AEED，求∠C的度数
4．如图，一钢架中，∠A15°，焊上等长的钢条来加固钢架若AP1P1P2，P2P3P1P2，则这样的钢条最多能焊上（）
A．4条B．5条C．6条D．7条
4如图，△ABD与△ACE中，ABAD，ACAE，∠DAB∠CAE．
求证：CDBE；
（2）若∠ABE15°，DC与AB，BE分别交于点F，点O，DFDB，求∠BOD的度数
6．如图，∠BAC90°，CD平分∠ACB交AB于点D，CM⊥CD，点M在AB的垂直平分线上，AM交BC于点O，MG⊥AC于点G
求证：∠BCM∠GCM；
若CG2，求BCAG的长；
（3）若点D在BC的垂直平分线上，求∠AMB的度数
【板块三】分类讨论求角度
方法技巧
当等腰三角形的底与腰不明，顶角与底角不明，或是三角形的形状不明时，常需要分类讨论
【例9】（1）等腰三角形两边分别为23时，求其周长；
（）等腰三角形两边分别为24时，求其周长
【例10】等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求这个三角形的底角的度数
【例11】平面直角坐标系中，已知A（33），B（05）点C为坐标轴上一点，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）
A3个B．4个C．5个D．7个
【例12】（2018绍兴）（1）等腰△ABC中，∠A80°，求∠B的度数；
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC中，设∠Ax°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围
【例13】如图1，△ABC和△ADE中，ABAD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，BC交DE于点O，设∠BAD．
（1）求证：∠BOD；
（2）求证：OA平分∠BOE
（3）如图2，设AC与DE交于点F，若△AOF是等腰三角形，∠C30°，直接写出∠的度数是
针对练习3
1．等腰三角形的两边长为5和6，则其周长为
2．等腰三角形的两边长为2和5，则其周长为
3．等腰三角形有一个角为50°其底角为
4．等腰三角形有一个角为100°其底角为
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（）
A60°B．120°C．60°或120°D60°或30°
6△ABC中，ABAC，AB垂直平分线与AC所在的直线所得的锐角为50°，则∠B的度数是
7．△ABC的高ADBE所在的直线交于点M，若BMAC，求∠ABC的度数
8．如图，在Rt△ABC中，∠C90°，以△ABC的一边为等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）
A4B．5C．6D．7
9．如图，直线ab相交于点O，∠150°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形，这样的B点有（）
A1个B．2个C3个D4个
10已知E是等边△ABC内一点，∠AEB100°，∠BEC，以EC作等边△CEF连接AF，当△AEF为等腰三角形时，试求的度数
11．一个三角形可被剖成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36度，求原三角形最大内角和所有可能值
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