费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许
多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从
他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.前面我们学习了导数的概念，从而知道导数刻画的是函数在一点的局部性态，如何利用导数
这个工具来研究函数在区间上的形态呢?比如单调性，最值.要利用反映局部形态的导数，来研究函数在区间上的性态.首先要建立导数与函数之
间的内在联系，而要建立这样一个内在联系，需要一个桥梁，起到这个桥梁作用的就是我们第三章要学习的微分中值定理。我们首先学习萝尔中值定
理。运行时,点击“费马引理”可显示费马简介.运行时,点击“费马引理”或“费马”按钮,或相片,可显示费马
简介,并自动返回运行时,点击“二.拉格朗日中值定理”,或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自
行返回。运行时,点击标题“三、柯西----”或“柯西”按钮,或相片,可显示柯西简介,并自动返回.第三章中值定理
应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广
微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理第一节机动目录上页下页返回结束
二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章一、罗尔(Rolle)定理费马(fer
mat)引理一、罗尔(Rolle)定理且证:设则存在费马目录上页下页返回结束
证毕（驻点）罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导
(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=
m,则因此在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束若M>m
,则M和m中至少有一个与端点值不等,注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,不妨设则至少
存在一点使则由费马引理得机动目录上页下页返回结束闭区间不连续使2)定理条件只是充
分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点机动目录上页
下页返回结束例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.由介值定理知存在使即
方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!则
在[0,1]连续,且设机动目录上页下页返回结束作辅助函数二、拉格朗日中值定理
(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆
向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且由罗尔定
理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏目录上页下页返回结束证:问题转化为证证毕拉格朗日
中值定理的有限增量形式:在I上必为常数.推论:若函数在区间I上满足则证:在I上任取两点日中值公式,
得由的任意性知,在I上为常数.令则机动目录上页下页返回结束
例2.证明等式由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证
:证:设经验:欲证时只需证在I上机动目录上页下页返回结束例3.证明不等式即
因为故证:设中值定理条件,因此应有机动目录上页下页返回结束三、柯西(Cauchy)
中值定理及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a
,b)内至少存在一点使满足:柯西目录上页下页返回结束证:作辅助函数且使即
由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个?不一定相同错!机动目录上页下
页返回结束上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率机动目录上页
下页返回结束以t为参数的曲线当x=t时变为拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：切线斜率=弦的斜率例4.
设至少存在一点使证:结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至
少存在一点?,使即证明机动目录上页下页返回结束例5.试证至少存在一点使证:
法1用柯西中值定理.令则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,因此即分
析:机动目录上页下页返回结束例5.试证至少存在一点使法2用罗尔定理，令则f(x
)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在机动目录上页下页返回结束内容
小结1.微分中值定理的条件、结论及关系拉格朗日中值定理罗尔定理关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理柯西中值定理
机动目录上页下页返回结束2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3
)证明有关中值问题的结论思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)
设有个根,它们分别在区间机动目录上页下页返回结束上.方程2.设且在内可导,
证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动目录上页下页
返回结束3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助
函数验证在上满足罗尔定理条件.机动目录上页下页返回结束4.思考:在即当时
问是否可由此得出不能!因为是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x从右侧以任意方式趋于0.应用拉
格朗日中值定理得上对函数机动目录上页下页返回结束作业第二节目录上页下页
返回结束3-12，4，5，7，9前面我们学习了导数的概念，从而知道导数刻画的是函数在一点的局部性
态，如何利用导数这个工具来研究函数在区间上的形态呢?比如单调性，最值.要利用反映局部形态的导数，来研究函数在区间上的性态.首先要
建立导数与函数之间的内在联系，而要建立这样一个内在联系，需要一个桥梁，起到这个桥梁作用的就是我们第三章要学习的微分中值定理。我们首
先学习萝尔中值定理。运行时,点击“费马引理”可显示费马简介.运行时,点击“费马引理”或“费马”按钮,或相片,可显示费马简介,并自动返回运行时,点击“二.拉格朗日中值定理”,或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。运行时,点击标题“三、柯西----”或“柯西”按钮,或相片,可显示柯西简介,并自动返回. |
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