运行时,点击按钮“证”或“证明”,可显示该不等式的证明过程,证毕自动返回.第四节一、函数单调性的判定法机动目录
上页下页返回结束二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一、函数单调性的判定
法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).在开区间I内可导,机动目录
上页下页返回结束例1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动
目录上页下页返回结束说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函
数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,机动目录上页下页返回结束
例2.证明时,成立不等式证:令从而因此且证证明目录上页下页返回结束证明
令则从而即定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;连续曲线上有切线的凹凸分界点
称为拐点.(2)若恒有则称图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点机动目录上页下页返回结束
定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则
在I内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;机动目录上页下页
返回结束设函数在区间I上有二阶导数(2)证毕例3.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.
说明:2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线
的一个拐点.1)若在某点二阶导数为0,则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下
页返回结束例4.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸机动
目录上页下页返回结束例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求3)列表判别2)求
拐点可疑点坐标令得对应故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸机动
目录上页下页返回结束内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.
曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点机动目录上页下页返回结束拐
点的可疑点：二阶导为零或不存在作业3-41,2（1,2），3（1）3-61（1,2），3思考
与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在机动目录上页
下页返回结束.2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提
示:及;
;第五节目录上页下页返回结束运行时,点击按钮“证”或“证明”,可显示该不等式的证明过程,证毕自动返回. |
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