【初中数学】矩形、菱形、正方形考点总结例题解析

Hi老刘老师 2022-01-18

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文章来源：初中数学哥

一、矩形、菱形、正方形的性质

1.矩形的性质

①具有平行四边形的一切性质；

②矩形的四个角都是直角；

③矩形的对角线相等；

④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；

⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质

①具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；

⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

3.正方形的性质

正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质

①边：四边相等，对边平行；

②角：四个角都是直角；

③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；

④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）

A．360

B．90

C．270

D．180

例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。

例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分 ∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度数。

例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。

例5 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．

二、矩形、菱形、正方形的判定

1.矩形的判定

①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

③有三个角是直角的四边形是矩形；

④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

2.菱形的判定方法

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等四边形是菱形；

④对角线垂直平分的四边形是菱形。

3.正方形的判定

①菱形+矩形的一条特征；

②菱形+矩形的一条特征；

③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。

说明一个四边形是正方形的一般思路是：先判断它是矩形，在判断这个矩形也是菱形；或先判断它是菱形，再判断这个菱形也是矩形。

例1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，并交于点E，连续EC、AD。

求证：四边形ADCE是矩形。

例2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB.

求证：AD与EF互相垂直平分。

例3.已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。

求证：四边形CDEF是菱形。

三、矩形、菱形、正方形与函数综合题

1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题；

2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题；

例1.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．

(1)求k的值；

(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。

例2.如图，点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为______．

例3 已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

(1)若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

(2)若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式。

四、矩形、正方形的翻折

1.从翻折中找出对称轴，利用对称性找相等关系。

2.利用相等关系建立方程解决问题。

例1 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若CF=1，FD=2，则BC的长是( )

A．3√6

B．2√6

C．2√5

D．2√3

例2 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（　　）

A.1或2

B. 2或3

C.3或4

D. 4或5

例3 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处。延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG=60°；④DE=2-√2；⑤S△AEF=S△DFG．其中正确的说法有（　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

例4 四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H。

(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明。

(2)如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长。

五、综合运用

1.计算。

利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

2.证明。

利用矩形、菱形、正方形的性质和判定，结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。