【原】数学120+，总分600＋，可以有！

神哥、神姐们与步兄、步姐们

这几天，高考成绩陆续发布了。

面对高考成绩，考生和家长可谓是悲喜两重天，

面对高考成绩，可谓是少数人欢笑，多数人愁！

神哥、神姐们，神采飞扬！

步兄、步姐们，黯然神伤！

蒙哥在病床上坚持学习。

1.神哥、神姐

以下神哥、神姐的素材摘自《人民日报》公众号。

1）淡定的蒙哥

蒙哥，高考总分723分（理工科）。

其中，数学150，语文133，英语147，理综293。

接受采访时，蒙哥那叫一个淡定、从容！

蒙哥接受采访时关键词：

开阔眼界、基础、高视角看所学知识

合作学习交流、心灵感悟、心灵成长。

2）自强的周哥

周哥，高考总分684分（理工科）。

高二时，周哥因车祸失去小腿，在病床上仍坚持学习。

今年参加高考，已经通过了清华的“自强计划”初审。

接受采访时，周哥只是微微一笑！

唐姐的手绘。

3）浴火的唐姐

唐姐，高考总分588分（文史类）

8岁时，唐姐为救1岁的弟弟，全身烧伤面积达85%，

唐姐下肢被截去，上肢仅保住了右手手臂和左手拇指。

在高考前，唐姐表示：

想独立生活，为社会贡献自己力量，活出别人看不到的另一面。

蒙哥，周哥、唐姐，在学生和家长心中是神一般的存在。

他们代表那些极少数卓而不凡的、坚韧不屈的高三考生。

他们志向远大，很少熬夜，题不多做，气定神闲，

最后，高考分数轻松得到560＋、660＋、700＋。

梦想高校的录取通知书收入囊中。

2.苦恼的步兄、步姐

步兄、步姐者，步吉格（不及格）也。

步兄、步姐们，高考总分在及格线以下。

步兄、步姐们，代表相当多的高中学生。

他们起早贪黑，刷题无数，吭哧瘪肚，牢骚满腹，

最后，高考分数只能在450－，及格线下徘徊游荡。

只能勉强讨个录取通知书，心不甘情不愿滴去上学。

2021年辽宁省普通高校招生考试成绩统计表

历史类：考生总数63903人。

600分以上：每科平均120＋，百分制每科80＋。

2436人，占比3.8%，还不到4%。

450分以下：每科平均90－，百分制每科60－。

31190人，占比48.8%，将近一半学生总分不及格。

物理类：考生总数102737人

600分以上：每科平均120＋，百分制每科80＋。

10607人，占比10.3%，只占一层多。

450分以下：每科平均90－，百分制每科60－。

39387，占比38.3%，将近四层学生不及格。

同样学三年，高考差距，咋这么大呢？！

未来的高三考生及家长，应该深刻地思考这个问题，

现在的中小学生家长，也应该深刻地思考这个问题。

因为高考考核的，不只是高中这3年，而是12年。

因为高考考核的，不只是考学生，还在考家长。

高考数学120+，可以有！

相对于那些神哥、神姐们，

这些450－、甚至375－的步兄、步姐们，

是学习细胞太少，或者是大脑沟回太浅吗？

非也！非也！非也！

胸无大志，三心二意，苟且度日；

学无乐趣，只为分数，心中悲苦；

基础知识，浅尝辄止，语无伦次；

知识体系，分崩离析，散落一地；

既不知己，又不知彼，高考必危！

方向不对，事倍功半，努力白费！

1.高考“四翼”

《中国高考评价体系说明》，是高考的指导性文件。

《中国高考评价体系说明》，明确了“一核、四层、四翼”。

“四翼”，高考考查要求：基础性、综合性、应用性、创新性。

结合2021年高考数学全国卷部分试题，俺解释一下“四翼”。

2021年高考数学全国卷部分试题解析，详见文末附录。

1）基础性

高考要求学生对基础部分内容的掌握必须扎实牢靠。

高考试卷应包含一定比例基础性试题，引导学生打牢知识基础。

此外，基础性还体现在，高考数学试卷中，

一定数量试题原型就是课本上的例题、练习题、习题、复习题。

以2021年高考数学全国卷涉及的部分基础知识为例：

代数：求集合的交集、复数的运算、等差和等比数列公式；

几何：几何体体积、解析几何（直线、圆、椭圆等）性质和公式

2）综合性

高考要求学生能够触类旁通、融会贯通，既包括同一层面、横向的交互融合，也包括不同层面之间、纵向之间的融会贯通。以必备知识为例，各个知识之间不是割裂的，而是处于整体知识网络之中。

以2021年高考数学全国卷涉及的部分知识融合为例：

平面集合图形性质和与立体几何、解析几何的综合；

几何圆锥曲线性质与代数均值不等式的综合。

3）应用性

在命题时，选取日常生活、工业生产、国家发展、社会进步中的实际问题，考查学生运用知识、能力和素养解决实际问题的能力，让学生充分感受到课堂所学内容中蕴含的应用价值。

以2021年高考数学全国卷涉及的部分实际问题为例：

测量珠峰方法、卫星导航、一带一路、青少年视力调查等问题。

4）创新性：

高考试题应合理呈现情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题、找到新规律、得出新结论。

以2021年高考数学全国卷涉及的部分简捷解法为例：

运用数学推论和常用数值，简捷进行复数运算、求数列前n项和；

用平面几何知识快速解决立体几何、圆锥曲线问题。

2.课标要求与数学试题题型、难度

1）课标要求

高考考核《课标》规定的数学基础知识：

概念、命题（性质、定理、公式）、技能、步骤、数学思想等。

此外，数学基础知识还包括：

课本上的基本图形，如立体图形、圆锥曲线的基本图形等；

课本上的例题、练习题、习题、复习题及隐含的常用推论。

多说一句：

教材编写的专家很鸡贼，他们在课本中隐藏了大量的知识，

如果学生不去重视课本，不去挖掘，不去掌握这些隐藏知识，

那么，这些学生在起跑线上就已经输了，而且输得精光。

2）试卷题型、难度

一般地，数学试卷题型包括：

填空和选择题16道，每题5分，共80分。

解答题6道，1道10分，5道12分，共70分。

高考试卷，容易题、中等难度题、难题比例是7：2：1。

高考数学满分150分，

基础题至少占70%，即105分。

中等难度题题占20%，即30分。

难题占10%，即15分。

100分基础题＋15分中等题＋5分难题（第1问）= 120。

所以，小马叨不是在这瞎嘚啵，

高考数学120＋，其实可以有！

高考数学120＋，完全可以有！

前提是：

抓住“四翼”、夯实基础、

融会贯通、学以致用、

守住基本盘，拿下基础分。

高考总分600＋，也可以有！

高考数学120＋，如果可以有，

高考总分600＋，也是可以有！

高考对于各科的考查要求是一样滴！

1.大家说

1）陈木法：

我觉得自学能力是人生的第一重要素质，这点在离开学校之后表现得尤其突出。

学校只教基础知识，到工作岗位之后，全靠自学。缺乏这种能力的人，从学校毕业也就“彻底”毕业了。    

2）陈省身：

数学是自己思考的产物。

首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的了解交换，会有很好的效果。                                         

3）苏步青：

在中学数学的课本里，一些基本的概念是逐步地被引导进来，要把基本的概念了解清楚，可以说是学好数学的第一个步骤。

如果概念还没有理解清楚，就急急忙忙地去证明定理、做习题，那是没有不碰壁的。                

2.课本·思考·幸福

学习，是科学

因为科学，所以简单！

因为科学，所以高效！

对于高中学生，是这样，对于初中生，也是这样；

对于学好数学，是这样，学好其他学科，也是这样。

1）重视课本、回归课本

课本，乃课堂之本、学习之本。

吃透知识点、构建知识体系、掌握学科思想，感悟学习之美，

必须重视课本、回归课本，知识方能融会贯通。

品读课本，养成预习、复习课本习惯，

需要循序渐进、慢慢体会，心急吃不了热豆腐，

尤其是对于没有良好阅读习惯的学生，更要慢慢来。

2）善于思考、乐于思考

孔老二曰：学而不思则罔。

张载：学贵心悟，守旧无功。

知识的本质、知识间的联系、解题的规范步骤和策略，

都需要深度思考，通过思考获得的知识，才是真正的知识。

这个过程，心理学家起了一个很洋气的名字，知识表征过程，

知识表征过程，直接影响知识提取过程，

学生的解题过程，就是知识提取的过程。

3）享受学习、幸福学习

睁眼看世界，学以致用，方能享受学习。

时时纠结着分数、排名，迟早要精神分裂。

体验自己弄懂原来没弄懂的知识，解答了一道原来不会解的题，找到了一种简捷解题的新思路之后的心灵愉悦，满满的成就感，

这是一种幸福，高级幸福，这种幸福和分数、排名没有一毛钱关系。

这是一种幸福，高级幸福，这种幸福和打游戏、刷视频没有可比性。

附录：2021年，高考全国数学卷部分基础题解析

年年岁岁点相似，岁岁年年题不同。

点，即高考要考核的各科知识，

题，即每年高考的各科试题。

试题，是根据知识点或知识点的组合来设计的，

知识点是孙悟空，试题只是72变之后的孙悟空。

试卷包括：新高考1、2卷、乙卷（文理）、甲卷（文理）

知识包括，集合、复数、数列、立体几何、解析几何。

文中所指课本，为人教版普通高中数学教科书（B版）。

2021高考全国卷省份和地区

新课标Ⅰ卷：山东、湖北、江苏、河北、广东、湖南、福建

新课标Ⅱ卷：海南、辽宁、重庆

全国甲：云南、广西、贵州、四川、西藏

全国乙：安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、宁夏、青海、新疆、内蒙古

一、新高考1卷

1.选择题

1）第1题

设集合A =｛x∣－2＜x＜4｝，B = ｛2，3，4，5｝，则A∩B =（）

A．｛2｝   B.｛2，3｝   C.｛3，4｝   D. ｛2，3，4｝

答案：B

考点：集合的交集运算。

2）第2题

z = 2－i，则z（＋i）= （）

A.6－2i   B.4－2i    C.6＋2i   D.4＋2i

答案：C

考点：复数的运算、常用结论（共轭复数的积）

简便解答：z（＋i）= 5＋1＋2i = 6＋2i

常用结论：z·= a²＋b²

课本例题：37页例1

已知a、b∈R，求证：（a－bi）（a＋bi） = a²＋b²

3）第3题

已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2   B.2√2  C.4   D.4√2

答案：B

考点：圆锥性质（母线、高和底面半径），圆周长和扇形弧长。

拓展：求母线和半径的夹角（60⁰），求圆锥体积

课本原题：81页练习B，第1题

一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为30⁰，求圆锥的高。

4）第5题

已知F₁、F₂是椭圆C：x²/9 + y²/4 = 1的两个焦点，点M在C上，则∣MF₁∣·∣MF₂∣的最大值为

A.13   B.12  C.9   D.6

答案：C

考点：椭圆性质（a、b、c关系）、均值不等式

简便解答：√9 = 3，3×3 = 9。

课本图形：椭圆两短轴端点和两焦点构成菱形（131页2—5—8）。

5）第11题

已知点P在圆（x－5）²＋（y－5）²=16，点A（4,0），B（0,2），则

A.点P到直线AB的距离小于10  B. 点P到直线AB的距离大于2  

C.当∠PBA最小时，∣PB∣=3√2  D.当∠PBA最大时，∣PB∣=3√2

答案：ACD

考点：圆的标准方程、点到直线距离公式、圆的切线性质、画图技能

课本原题：115页习题2—3A第4题

若P（x，y）是圆C：（x－3）² ＋ y² = 1上的任意一点，求P（x，y）到直线x－y＋1 = 0距离的最大值和最小值。

2.填空题：第14题

已知O为坐标原点，抛物线C: y² = 2px（p＞0）的焦点为F，

P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若∣FQ∣ = 6，则的准线方程为

答案：x =－3/2

考点：椭圆性质推论（垂径性质），勾股定理或直角三角形相似

简便解答：求出P点坐标（p/2，p），用相似或勾股定理求P = 3。

推论：PF与x轴垂直，P点坐标（p/2，±p）

3.简答题：第21题第1问

在平面直角坐标系xOy中，已知点F₁（－√17，0）、F₂（√17，0），∣MF₁∣－∣MF₂∣= 2，点M的轨迹为C

（1）求C的方程

答案：x² － y²/16 = 1（x≥1）

考点：双曲线的性质（a、b、c）

课本例题：140页例2

已知F₁（－2，0）、F₂（2，0），动点P满足∣MF₁∣－∣MF₂∣= 2，求动点P的轨迹方程。

二、新高考2卷

1.选择题

1）第1题

在复平面内，复数2－i/1－3i对应的点位于

A.第一象限  B. 第一象限  C. 第一象限  D. 第一象限

答案：A

考点：复数的运算、推论。

简便算法：

2－i/1－3i =（2＋3）/10＋（－1＋6））i/10 = 1/2＋1i /2

课本知识：旧版课本61页

（a＋bi）÷（c＋di）=（ac＋bd）/（c²＋d²）＋（bc－ad）/（c²＋d²）

2）第2题

若全集U = ｛1，2，3，4，5，6｝，集合A =｛1，3，6｝，

B =｛2，3，4｝，则A∩C_u B =（）,

A．｛3｝   B.｛1，6｝  C.｛5，6｝     D.｛1，3，｝

答案：B

考点：集合交集和补集性质。

3）若抛物线C: y² =2px（p＞0）的焦点到直线y=x＋1的距离为√2，则p = （）

A.1  B.2  C.2√2  D.4

答案：B

考点：抛物线性质（焦点坐标）、点到直线距离公式

简便解法：根据已知和选项特殊性，假设焦点坐标（1,0），进行验算。

4）第5题

正四棱台上下底面边长为2、4，侧棱长为2，则四棱台体积为（）

答案：28√2/3

考点：棱台的高和体积公式。

课本原题：84页例2

已知四棱台上、下底面的面积分别为为S₁、S₂，而且高为h，求这个棱台的体积。

2.填空题：第13题

已知双曲线C：x²/ a² － y²/ b² = 1（a＞b＞0），离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为（）

答案：y = ±√3x

考点：双曲线性质（a、b、c）关系

课本原题：148页练习A第3题

已知双曲线的渐近线方程为y = ±3x/4，求双曲线的离心率。

3.简答题

1）第17题第1问

记S_n是公差不为0的等差数列｛a_n｝的前n项和，若a₃ = S₃，a₂·a₄ = S₄（1）求数列｛a_n｝的通项公式a_n

答案：a_n  = －8/5＋（n－1）16/5

考点：等差数列前n项和公式

2）第20题第1问

已知椭圆C的方程为x²/a² + y²/b²= 1（a＞b＞0），右焦点为F（2,0），且离心率为√6/3.

（1）求椭圆的方程

答案：x²/6 + y²/2= 1

考点：椭圆的性质

课本原题：134页练习B第1题

根据下列条件，求椭圆的标准方程：

（2）焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。

三、全国乙卷

1.文科

1）选择题第1题

已知集合U = ｛1，2，3，4，5｝，集合M =｛1，2｝，

N =｛3，4｝，则C_u（M∪N） =（）

A．｛5｝   B.｛1，2｝  C.｛3，4｝     D.｛1，2，3，4｝

答案：A

考点：集合的并集和补集运算。

2）选择题第2题

设i· z = 4＋3i，则z = （）

A.－3－4i   B.－3＋4i    C.3－4i  D.3＋4i

答案：C

考点：复数的运算

解答：i· z = i·（a＋bi） = 4＋3i

3）选择题第11题

设B是椭圆C：x²/5+ y² = 1的上顶点，点P在C上，则∣PB∣的最大值为（）

A.5/2   B. √6   C. √5   D.2

答案：A

考点：椭圆的性质（a、b、c）

课本例题：132页例3

已知椭圆C：x²/a² + y²/b²= 1（a＞b＞0）的左焦点为F，且P是椭圆上的一点，求∣PF∣的最小值与最大值

4）填空题第14题

双曲线C：x²/4 － y²/5= 1的右焦点到x + 2y－8 = 0，的距离为

答案：√5

考点：双曲线性质（a、b、c）和点到直线距离公式

5）解答题第19题第1问

记｛a_n｝是首项为1的等比数列，数列｛b_n｝满足b_n = na_n/3。

已知a₁，3a₂，9a₃成等差数列

（1）求｛a_n｝和｛b_n｝的通项公式

答案：a_n = （1/3）^n－1，b_n =n/3ⁿ

考点：等差数列等差中项公式、等比数列通项公式。

6）解答题第20题第1问

已知抛物线C: y² = 2px（p＞0）的焦点为F到准线的距离为2，

（1）求C的方程

答案：y² = 4x

考点：抛物线性质推论（焦点F到准线距离为p。）

课本例题：152页例1（1）

分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程。

抛物线的焦点到准线的距离是3，焦点在x轴的正半轴上。

2.理科

1）选择题第1题

设2（z＋）+ 3（z－）= 4＋6i，则z = （）

A.1－2i  B.1＋2i   C. 1＋i   D.61－i

答案：C

考点：复数的运算、常用结论（共轭复数的加法和减法）

解答：4a＋6bi = 4＋6i

常用结论：z＋ = 2a ；z－ = 2bi

课本例题：35页例2

判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数”的真假，并说明理由。

2）选择题第2题

已知集合S =｛s∣s = 2n＋1，n∈z｝，

T =｛t∣t = 4n＋1，n∈z｝，则S∩T = （）

A．∅   B.S  C.T     D.Z

答案：C

考点：集合的交集运算。

3）选择题第5题（文科数学第10题）

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中P为BD的中点，则直线PB与AD₁所成的角为（）

A.π/2   B. π/3  C. π/4   D. π/6

答案：D

考点：正方体性质（体对角线和面对角线）、异面直线所成的角

课本原图：正方体的体对角线和面对角线（课本69页例3）

4）填空题第13题

已知双曲线C：x²/m － y²= 1（m＞0）的一条渐近线为√3x + my =  0，则C的焦距为

答案：4

考点：双曲线性质（a、b、c）

课本原题：149页习题2—6A，第4 题

已知中心在原点的双曲线的一个焦点F₁是（－4,0），一条渐近线方程是3x－ 2y = 0，求此双曲线的标准方程。

四、全国甲卷

1.文科数学

1）选择题第1题

设集合M =｛1，3，5，7，9｝，N = ｛x∣2x＞7｝，则M∩N = （）

A．｛7，9｝  B.｛5，7，9｝  

C.｛3，5，7，9｝     D.｛1，3，5，7，9｝

答案：B

考点：集合的交集运算。

2）选择题第3题

z（1－i）² = 3＋2i，则z = （）

A.－1－3i/2   B.－1＋3i/2    C.－3/2＋i   D.－3/2－i

答案：B

考点：复数的运算、常用结论（1－i运算的特殊值）

简便解答：－2i· z= －2i·（a＋bi）= 3＋2i

常用结论：（1－i）² = －2i

课本例题：38页例2

计算（1＋i）²与（1－i）²的值

3）选择题第9题

记S_n为等比数列的前n项和。若S₂ = 4，S₄ = 6，则S₆ =（）

A.7    B.8    C.9   D.10

答案：A

考点：等比数列前n项和公式推论

简便解答：S₂ = 4，S₄－S₂  = 2，S₆－ S₄= 1，S₆ = 1＋6  = 7

常用推论：S_n，S_2n－S_n，S_3n－S_2n成等比数列，公比为qⁿ，q≠0或－1

课本原题：练习B第2题（旧版数学教材51页）

已知数列｛a_n｝是等比数列，S_n是其前n项和，试问：S_n，S_2n－S_n，S_3n－S_2n，S_4n－S_3n……成等比数列吗？

4）填空题第14题

已知一个圆锥底面半径为6，体积为30π，则该圆锥侧面积为（）

答案：39π

考点：圆锥的体积公式和侧面积公式。

5）填空题第16题

已知F₁、F₂是椭圆C：x²/16 + y²/4 = 1的两个焦点，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，且∣PQ∣=∣F₁F₂∣，则四边形PF₁QF₂的面积为（）

答案：8

考点：椭圆性质（a、b、c）、矩形对角线性质

课本原图：椭圆两短轴端点和两焦点构成菱形（131页2—5—8）

2.理科

1）选择题第1题

设集合M =｛x∣0＜x＜4｝，N = ｛x∣1/3≤x≤5｝，则M∩N = （）

A．｛x∣0＜x≤1/3｝   B.｛x∣1/3≤x＜4｝  

C.｛x∣4≤x＜5｝     D.｛x∣0＜x≤5｝

答案：B

考点：集合的交集运算。

2）选择题第5题

已知F₁、F₂是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F₁PF₂= 60⁰，∣PF₁∣= 3∣PF₂∣，则C的离心率为（）

A.√7/2   B.√13 /2   C.√7   D.√13

答案：A

考点：双曲线性质（a、b、c）和余弦定理。

难点：根据∣PF₁∣= 3∣PF₂∣推出∣PF₁∣= 3a，∣PF₂∣= a

3）选择题第11题

已知A、B、C是半径为1的球的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC = BC = 1，则三棱锥O—ABC的体积为（）

A.√2/12   B.√3/12    C.√2/4   D.√3/4

答案：A

考点：球的性质、三棱锥体积，直角三角形外接圆性质

难点：找到圆心和半径。

课本原图：球心、半径、球心和圆心距离关系（79页图11—1—46）