第一章§1集合的含义与表示课前自主预习一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”问题1：数学家说的集合是指什么？问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？1.集合、元素(1)集合定义我们把________组成的总体称为集合．(2)集合的记法集合通常用________________________标记．(3)元素集合中的________叫作集合的元素．一些元素大写字母A，B，C，D，…每个对象2.集合元素的性质确定性互异性无序性1.________2.________3.________3．元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果___________，就说a属于A___“a属于A”不属于如果____________，就说a不属于A___“a不属于A”a在集合A中a∈Aa不在集合A中a?A4.常用数集及表示符号定义自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法________________________NN＋QRZ5.集合的表示方法(1)列举法把集合中的元素______________写在________内的方法．(2)描述法用确定的条件表示某些对象____________，并写在______内的方法．一一列举出来大括号属于一个集合大括号6．集合的分类?有限集无限集1.下列各组对象中不能构成集合的是()A．《成才之路》教育集团的全体员工B．2014年全国经济百强县C．2015年考入北京大学的全体学生D．美国NBA的篮球明星[答案]D[解析]根据集合元素的确定性来判断是否构成集合．因为选项A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．2．已知集合A表示不等式3－3x>0的解集，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1?A[答案]C[解析]3－3x>0可化为x<1,0<1，－1<1，所以0∈A，－1∈A.3．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}[答案]B[解析]选项A、C、D中集合的元素为1，而选项B中，集合中元素为±1，故选B.4．用符号“∈”或“?”填空．(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；(2)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B；(3)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，9．1________C.[答案](1)?(2)?(3)∈?[解析](1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴－1?A.(2)∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－3,2}，∴3?B.(3)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∴8∈C,9.1?C.5．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________.[答案]－1[解析]∵x2∈A，∴x2＝1，或x2＝0，或x2＝x.∴x＝±1，或x＝0.当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，∴x＝－1.课堂典例讲练集合的基本概念 考察下列每组对象能否构成一个集合：①美丽的小鸟；②不超过20的非负整数；③立方接近零的正数；④直角坐标系中，第一象限内的点．[思路分析]要判断每组对象能否构成集合，关键是分析各组对象所具有的条件是否明确．若明确，则能构成集合；否则不能构成集合．[规范解答]①中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；②中的对象可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；③中接近0的界限不明确；④中的对象有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中．综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．[规律总结]判断元素能否构成集合，关键看这些元素是否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合．其中正确的个数是()．A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]①是错误的，因为“周围”是个模糊的概念，随便找一颗行星无法判断其是否属于地球的周围，因此它不满足集合元素的确定性．②是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合．③是错误的，因为集合中的元素具有无序性.元素与集合的关系 若2?{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是________．[思路分析]由题意可知，2不具备集合中元素的共同特征，因此建立不等式即可求出a的取值范围．[规范解答]因为2?{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2.所以实数a的取值范围是{a|a≥2}．[答案]{a|a≥2}[规律总结]1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数学的表示方法，应当熟练掌握．2．判断一个元素是不是某个集合的元素，主要判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．集合的表示方法 用适当的方法表示下列集合(1)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合；(2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；(3)被5除余1的正整数组成的集合；(4)坐标平面内坐标轴上的点集．[思路分析]当集合中元素较少且容易一一列举出来可用列举法；用描述法表示集合，关键是理解题目中元素是什么，满足什么条件．解答(1)可联立方程求解．解答(2)可先解方程，再按要求改写．(3)、(4)可根据集合中元素性质改写．[规律总结]1.用列举法写集合应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素．另外还要弄清元素的个数．做到不重不漏，一一列举出来，写在大括号内．2．用描述法表示集合，常用模式是{x|p(x)}，其中x是集合的代表元素，p(x)为集合中元素所具有的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．3．用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．用适当的方法表示下列集合：(1){15的正因数}；(2)三角形的全体构成的集合；(3)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N＋，y∈N＋}；(4)满足不等式3x＋1≤0的所有实数的集合．[解析](1)15＝1×3×5.故集合可表示为{1,3,5,15}．(2){x|x是三角形}或{三角形}．(3){(1,3)，(2,2)，(3,1)}．(4){x|3x＋1≤0}.集合中元素的特性及应用 已知集合A含有两个元素x－3和2x－1，若－3∈A，试求实数x的值．此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2x－1，则x＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数x的值为0或－1.[规律总结]1.根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．2．利用集合中元素的特性解题要注意分类讨论思想的应用．易错疑难辨析集合
所给下列关系正确的个数是()
－R；?Q；0∈N＋；|－3|N＋.
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]－是实数，是无理数，正确．
N＋表示正整数．和不正确.
[答案]B
[规范解答](1)由，解得.
故一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合为{(1,1)}．
(2)方程x(x2－1)＝0的实数根为0,1，－1，
故其实数根组成的集合为{－1,0,1}．
(3)根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x＝5n＋1，nN}．
(4)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标其中之一为0，故可表示为{(x，y)|xy＝0，xR，yR}．
[思路分析]→
→
[规范解答]－3A，
－3＝x－3或－3＝2x－1，
若－3＝x－3，则x＝0.
由实数x、－x、|x|、、－所组成的集合，最多含有元素的个数为()
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析]因为＝|x|，－＝－x，当x>0时，它们依次为：x，－x，x，x，－x，有两个不同的元素；当x<0时，它们依次为x，－x，－x，－x，－x，也只有两个不同的元素；当x＝0时，只有一个元素0.所以选A.
[答案]A
[错解]由解得x＝1，y＝2，
集合应等于{1,2}．
[正解]方程组的解为
集合为{(1,2)}．
集合＝________.
[辨析]本例主要考查集合的描述法，集合中的元素为数对(1,2)，不是数1,2.
[规律总结]以数或点为元素的集合分别叫作数集或点集，这是我们研究的主要对象，因而研究集合必须搞清集合的元素是什么．
本例做错的原因是不明白集合的代表元素(x，y)是一个点的坐标，二元一次方程组的解只能用(x，y)或表示，而1,2是两个整数，所以不能表示点的坐标，也不能表示方程组的解．
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