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一、天神下凡 现在我们看一看微积分有什么用。
再来看看微积分发展到什么程度了。 阿基米德求出了圆的面积还有抛物线下的面积，开普勒解决了椭圆面积，笛卡尔玩出了坐标系，费马说出了切线的求法，他还解决了y=x^n曲线下的面积问题，注意了啊，虽然大家都做了这么多了，但是还没有解决任意曲线下的面积，这个问题怎么解决呢？由谁来解决呢？ 当然是科学上的神——艾萨克.牛顿。  这一切还要从那一年的大瘟疫说起，1665年，英国伦敦爆发了一场大瘟疫，那一场瘟疫伦敦每天都要有7000人死亡，其恐怖程度远远超过了今天的新冠，伦敦顿时变成了人间地狱，英国政府那一年采取的方法和现在一样还是放任自流，达官贵人们纷纷逃离伦敦，只留下了他们的人民在地狱中哀嚎。 剑桥大学的一个青年学生为了躲避瘟疫也回到了乡下老家，在这段时间里，他整理了一下自己的各种想法，这段乡下岁月只有二百多年后爱因斯坦的奇迹年可以相比，这个人就是艾萨克.牛顿，那一年，他才22岁。 1666年，牛顿写了一本小册子《流数简论》，在这本小册子里他写出了如何求“简单曲线的面积”，这是牛顿的原话，其实应该叫做“一般曲线的面积”，就是这本小册子拉开了微积分的帷幕，后世数学家认为这本小册子“也许是牛顿所有数学著作中最值得称赞的”。 牛顿在《流数简论》中列出了三条原则。 法则1：简单曲线的面积：如果y=ax^(m/n)是曲线AD的函数，其中a是常数，m和n是正整数，那么区域ABD的面积为（an/m+n）x^((m+n)/n。 还是用现代语言翻译一下吧。 函数y=ax^(m/n)的图像通过坐标原点A，B的坐标为（x，0），那么  来看看牛顿是怎么证明的吧。 以下证明过程节选自《微积分的历程：从牛顿到勒伯格》。 首先，牛顿令β是横坐标轴上同B相隔一小段距离o的点。因此线段Aβ的长度为[插图]。他令z为面积ABD，不过为强调函数关系，我们用z=z（t）表示。因此，z（x+o）是曲线下的面积Aβδ。下一步，他引进高为v＝BK＝βH的矩形BβHK，他限定其面积恰好等于曲线下面的区域BβδD的面积。换句话说，BβδD的面积等于ov。  此时，牛顿指定z（x）=an/(m+n)x^((m+n)/n)并继续求z的瞬时变化率。为此，他考察了x变小时x的变化对z的变化的影响。为书写方便，他暂时令c=an/(m+n)和p=m+n，于是z(x)=cx^(p/n)，那么简化后就有  现在，z（x+o）就是面积Aβδ。这个面积可以分解成面积ABD和BβδD，后者是矩形ov的面积，所以，牛顿断定z（x+o）=z(x)+ov。代入上面的式子，得到  将等式左边的二项式和右边的二项式展开，得到  消去两边最左边的项，并除以o，牛顿得到  到这一步，他写道：“如果我们假定Bβ为无限减小并消失的量，或者o为零，那么，v和y在这种情况下相等，并且那些乘以o的项将消失”。他断言，当o变成零时，上式中所有包含o的项也变成零。与此同时，v同y相等，这就是说，图中矩形的高BK将等于原曲线的纵坐标BD。通过这种方式，就变换成  他的推导仍然继续进行。在式（9）中，他代换了z（x），c和p并且解出  是不是觉得少年牛顿的证明是不是特别别扭呀，确实是，当时可能他也有点概念混乱吧估计他自己看着也头疼，所以干脆就直接引用了，如果觉得太头疼就别看了，咱们还是先挑牛顿的毛病吧。 看到他那个变来变去的o了吗？明明刚说了o不等于零，下一步忽然又等于零了，要是等于零的话，那么上一步就不能消除了，这一会儿等于一会儿不等于的谁受得了呀。就算你是神也不能这样，不过，牛顿有意无意地忽略了这一点，就这么得出了结论。 不过这也没有给出一般曲线的证明呀，不要着急，还有下面两条法则呢。 法则2 由简单曲线构成的复杂曲线的面积：若y的值由若干项构成，那么它的面积等于其中每一项的面积之和。 法则3 所有其他曲线的面积：如果y的值或者它的任何项比上述曲线更复杂，那么必须把它分解成更简单的项……，然后应用前面两条法则，就可以获得欲求曲线的面积。 有了这两条法则，是不是就有了一般曲线的证明了。 其实说了半天，少年牛顿的这一大堆说白了就是  再来看看微积分在牛顿力学中的作用吧。 我们先来看一个匀速直线运动。 匀速直线运动的距离怎么算？当然是s=vt，放到函数图像上呢，就是直线x=v下面的面积。 明白没有？还没有明白吗？那在来看一下匀加速运动，匀加速运动的距离怎么算？当然是s=1/2at^2，放到函数图像上看呢，就是斜线y=at下面的面积。  现在知道了吧，所谓距离就是速度曲线下面的面积，当然了，我们现在用到的都是直线，不过直线只是一种特殊的曲线，而且真正的速度也不可能是直线呀，而是各种各样的曲线，所以说只要知道了如何求解曲线下面的面积，那么运动学的问题就迎刃而解了。 伽利略已经基本知道了各种力学概念了，连瞬时速度他都说出来了，可他为什么差了这临门一脚呢？没有微积分呀，他早早就知道了抛体运动的轨迹是曲线，抛物线就是这么来的，可是怎么算距离他就不清楚了，可对于牛顿来说这就有点太简单了。 这是积分，再看看微分。 牛顿第二定律大家都知道，就是F=ma，可这不是牛顿原始写法，这是后来马赫改写的，牛顿是这么写的：F=dp/dt，p=mv就是动量，那么再来看第二定律，这就是F=d(mv)/dt，当时认为m不会随着速度的变化而变化，那么就是F=mdv/dt，dv/dt就是加速度，于是就成了F=ma。 这是马赫说的，要是按照微分展开呢，那就是F= mdv/dt+vdm/dt，这是什么呀，这就是狭义相对论，当然没有相对论的想法，不过第二定律里已经包含了相对论。 这是牛顿的手稿。 从手稿里可以看出来，牛顿对于求导已经是轻车熟路了。 二、莱布尼茨的幻想 可是莱布尼茨又是什么鬼？牛顿独创的公式怎么又加上了他。 这确实是牛顿首创的，他也写了小册子，可是他没有公开发表呀，仅仅有几个同事看到了，很显然，莱布尼茨并没有看到他的小册子，后来他又重新推导了一遍。 至于牛顿为什么没有公开，或许是他觉得微不足道或许是他的兴趣并不在这上面也或许是他天生腼腆，不管怎么着吧，反正他是没有公开。 牛顿这点有意无意的疏忽就给了莱布尼茨莫大的幻想。 莱布尼茨自称也是有爵位的，而且是家传的，注意是自称啊，不过可信度不大，他是一个官三代，不过官不大，有爵位的可能性很小，不过也无所谓，爵位这种东西信则有不信则无，那个时代又没有互联网，就算弄个假的也没有什么大不了。 基督山伯爵的爵位是假的，不是也没人查他家谱嘛，只要自己心中认定有爵位，那就是有，只要不要象方鸿渐一样，买个文凭还觉得丢人，舍不得拿出来，堂堂的克莱登大学博士混的凄凄惨惨。 只要有钱就没人敢说话，基督山伯爵有钱就没有人质疑，要是没钱呢？那就有才啊，偏偏莱布尼茨就是个天才。 莱布尼茨大学读的是法律，看来在哪个时代都一样，人们青睐的都是法律金融之类的专业，但是他这么拉风的男人，就象暗夜中的萤火虫一样那么鲜明那么出众，在法国担任外交官期间，他精通了数学，而且意识到了微积分。 莱布尼茨久慕牛顿的大名，他通过别人联系和牛顿通了信，并且在信中阐述了自己的想法。牛顿看到信之后，顿时觉得'天下英雄，唯使君与……'，不对，牛顿认为天下英雄，唯我一人耳。 牛顿在回信中展开了他的神奇操作，他先在信中写了一段密码，这是当时的流行做法，就好比江湖人士见面都得对两句黑话一样，不过这密码和黑话不同，黑话是通用的，密码是自己编的，都是高智商人士，总不能弄得和跑江湖的一样吧。 牛顿密码的大意就是已知流量求流数，已知流数求流量，说白了，就是这活我已经解决了，你就别费劲了，到这里画风还比较正常，关键是牛顿在信中还说了一句，这个问题目前还无解，这句话可是用明文写的，这句话就埋下了后来纷争的祸根。这封信就是后来所称的前函。 牛顿的骚操作一如既往地令人费解，一方面告诉人家我已经解决了，一方面嘱托人家要继续努力啊，而且是关键词还是用密码写的，真以为天底下都是如同他老人家一样的天才啊，就算人家是天才，人家也没必要猜你的密码啊。 莱布尼茨果然没有猜密码，受到鼓励以后，这算鼓励吗？不算吧，算是个态度吧，莱布尼茨立刻回信，说了自己研究的细节，这人还真实在，这封回信就是后来所称的后函，对于后函牛顿没有搭理他。莱布尼茨没有琢磨爵爷的态度，开始深入研究，果然就重新发明了微积分。 1684年，莱布尼茨发表了关于微分的论文，1686年，发表了关于积分的论文，他也证明了微积分的基本定理，也就是牛顿莱布尼茨公式，关于莱布尼茨的证明过程就不写了，那比牛顿的还繁琐，不管这么多了，反正莱布尼茨是重新发明了微积分。 虽然牛顿发明的早，可是有一点他是比不上莱布尼茨的，就是莱布尼茨会写符号，微分符号dxdy、积分符号∫都是莱布尼茨写出来的，这一点非常重要，韦达就是靠把代数方程符号化才被称为“代数之父”的。 不但会写符号，莱布尼茨还会起名，微积分这个名字就是他起的，可是他也太会起名了，微积分这个名字简直就是诅咒。 英语中微积分就是calculus，这个词的词根来自于计算，可是calculus还有一个含义是结石，词根来源于词根calx，意思就是石头，为什么石头会和计算连在一块，因为古代就是用石头计算的呀，他们俩各自独立地发现了微积分，也各自独立地死于结石讽刺的是，不同的是俩人结石的部位不同，牛顿患有膀胱结石，莱布尼茨患有肾结石。 人家都公开发表论文了，牛顿这边却没有动静，他这时候在干什么呢？他正在和胡克明争暗斗呢。胡克和牛顿的争斗可以算得上科学史上的一段传奇，不过当时莱布尼茨并不知道，不过他很快就要知道了，接下来他和牛顿争斗的级别要远远超过胡克和牛顿的大战。 1687年，随着《自然哲学的数学原理》的出版，牛顿取得了对胡克压倒式的胜利，在书中，牛顿表现出来了对微积分的熟练掌握程度，可是看看时间，他已经比莱布尼茨发表微积分的论文晚了。 在《原理》前言中，牛顿写道'十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外'。这基本上也是事实。 可是莱布尼茨觉得自己受了愚弄，明明在前函中说这个问题还没有解决，而且在后函中自己也写了自己的研究，那么怎么就成了他先发现的了。 在牛顿看来，自己已经说了问题解决了，就是那段密码，你自己看不明白，怨我啊，而且莱布尼茨的论文含混不清，好多问题都没有得到彻底解决，你这明显就是粗制滥造啊，而我已经用微积分熟练解决了力学问题，自然是我先发现的。 到这里呢，还是一个发明权之争，而且两人都颇有风范，牛顿对莱布尼茨说'我非常珍重和您的友谊'，莱布尼茨则说'在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半'。 这个时候还都是君子之争，武器也都是数学，可是这个事情还是出现了变化。 三：狮子的利爪 这个事情是由莱布尼茨的学生约翰.伯努利引起的。 要说数学史上哪个家族最牛，当然是伯努利家族，小李飞刀家才是“一门七进士”，伯努利家族却是一门八杰，出了八个数学家，可要说数学史上谁最惨呢，当然是伯努利家族的老二约翰.伯努利。 约翰当然很牛，可他哥哥雅各布更牛，而且哥哥从来就没有就没有把他当做过弟弟，一直认为他不过是哥哥的学生，要想改变哥哥的看法，当然是扬名立万，可约翰也着实的惨，好容易发现了一个微积分定理，还因为穷卖给了洛必达侯爵，那就是著名洛必达法则。 机会总是给有准备的人的，这机会还真让他找着了，因为他解决了最速降线问题。 这已经是一个老问题了，当年是由伟大的伽利略提出的，大意是：一个可以看做质点的小球，仅靠重力作用，不考虑摩擦力，从一点到达不在这一点正下方的一点，那么沿着什么曲线滑下需要的时间最短。伽利略给出的答案是圆弧线，这是错误的。 后来，这个问题困扰了世界近70年，约翰·伯努利解决了这个问题，自然是非常高兴，高兴之余，他也打算考一考他的同行们。 约翰·伯努利在《教师学报》上向全欧洲的数学家发出了挑战书，在截止时间来临之际，只收到了他的老师莱布尼茨的答案，这使得约翰·伯努利更加狂妄，他声称“即使是那些对自己的方法自视甚高的数学家也解决不了这个问题”。这毫无疑问是在挑战牛顿呀，牛顿你站出来解啊，你不是能吗？是不是怂了，要是解不出来，以后就不要瞎逼逼了，不过莱布尼茨还是建议他把期限推迟，以使得数学家们有时间思考，就是输也得让人家输的心服口服呀。 最后，约翰·伯努利收到了五份答案，有两份自然是他自己和莱布尼茨的，还有一份来自他的哥哥雅各布·伯努利，还有洛必达侯爵的答案，最后一份则盖着英国的邮戳，看到来自英国的答案，约翰·伯努利感到一阵莫名的恐慌。 这份答案并没有署名，但是约翰·伯努利却'从他的利爪认出了这头狮子'。约翰·伯努利没有认错，这份答案就来自于科学上的神——艾萨克.牛顿。 不过当时约翰·伯努利并不清楚牛顿解题的过程，如果他知道的话，他会更加敬畏这头老狮子。当时牛顿已经就任英国皇家铸币厂厂长，每天繁重的工作让这位老人精疲力尽，这是在他结束一天工作之后，利用几个小时解出来的。 最速降线当然是以牛顿大获全胜告终，不过输得最惨的还是约翰.伯努利。 因为约翰.伯努利在解题过程中使用了费马原理，费马原理前面已经说过，就是一个求极值的问题，说的是光在折射过程中会沿着最短路径穿行，可关键是这并不是一条已经经过证明的定理，但凡叫原理的都是可能正确也可能不正确，这就是说约翰的证明的基础并不牢固，要是费马错了的话，约翰也就错了，当然了费马原理是正确的，但这样的话约翰也是取巧了。 第二个胜利者是哥哥雅各布，雅各布在求解过程中使用了新的方法，这就是变分法的萌芽，后来由欧拉创立了变分法。 都说“打了孩子娘出来”，学生都输成这样了，莱布尼茨总得出来说两句话吧。 四、发明权之争 1700年，莱布尼茨说服德国皇帝腓特烈三世成立了柏林科学院，并担任院长，门下学生一群，而1703年胡克去世，牛顿接任皇家学会会长，手下粉丝一堆。 这样一来，两个人的争斗就成了两个门派的争斗，伽利略当年种下的苦果终于长成了参天大树。 牛顿这边首先发难，说莱布尼茨抄袭，证据就是前函后函，这个问题虽然说不清，但是还可以解释，最关键的是莱布尼茨的论文粗制滥造啊，谁看起来都象是在抢发明权，楞说他没有了解牛顿的工作这还真没人信，你要是真不了解，抢什么发明权啊， 莱布尼茨也不服，这明明是牛顿抄袭啊，证据还是前函后函，你什么也没说，我可是什么都说了，这明明是你抄袭我啊，再说了，我以前是人单势孤，现在我也也是院长了，走到哪我都不怕。 问题就出在走到哪都不怕上，这时候牛顿都获得了爵位了，莱布尼茨爵位的真假还不好说呢，牛顿的爵位可是货真价实的，他更不怕了。 莱布尼茨居然向英国皇家协会起诉了，指责牛顿抄袭。这就有点失策了，按理说双方隔着英吉利海峡空中互怼多好，谁也拿谁没办法，这下送上门去了，不是找死吗？ 顺便再插一句吧，在政治上，莱布尼茨确实不成熟，他曾运作使得汉诺威公爵继任英国国王，可是国王并不信任他，也没有把他带往伦敦。 这下莱布尼茨落到了牛顿手中，牛顿组织了一个仲裁委员会来裁定此事，成员自然都是爵爷的粉丝，1712年4月24日，仲裁委员会得出结论“我们认为牛顿先生是微积分的第一创立人”。 1716年2月26日，牛顿致信莱布尼茨，强调皇家学会“仲裁委员会”的审理报告是公正的，他“不打算收回哪怕是其中的一个字”。1726年《原理》第三版发行，牛顿删去了前两版中关于莱布尼茨的论述。 客观来说，应该是两人分别独立发明了微积分，这个事情爵爷应该清楚，否则凭他的尿性，还不折腾死莱布尼茨啊，可是在这场纷争中，莱布尼茨的行为也谈不上多么光彩，你跑人家家门口说人家老大抄袭，这是要置牛顿于死地，也怪不得牛顿出手狠辣，爵爷本来就不是什么良善之辈，看看他后来怎么对胡克的吧，不过爵爷还有基本的操守，那就是人不犯我，我不犯人，人若犯我，你就去死。 这场争斗看起来是爵爷赢了，其实却是输了。由于爵爷大获全胜，整个英伦三岛都兴奋不已，他们都以爵爷为荣，放弃了莱布尼茨简便的微分积分符号，而爵爷又不擅长这些，这严重地影响了英国数学的发展，以至于落后于欧洲。 另外就是莱布尼茨会教学生呀，学生还会教学生呀，约翰的学生莱布尼茨的徒孙就是欧拉，如果说牛顿是十七世纪最伟大的数学家的话，欧拉就是十八世纪最伟大的数学家，而微积分就是在欧拉手上才成为了一门应用广泛的科学。 欧拉不但在师大爷雅各布的启发下创造了变分法，他还开启了微分几何的先河，他的《微分学原理》《积分学原理》被认为是微积分集大成之作，应该说微积分在欧拉手上才完善了起来。 欧拉还把微积分推向了更广泛的应用，他和小师弟丹尼尔.伯努利（就是约翰.伯努利的儿子）一起创立了弹性力学，还在牛顿力学的基础上，建立了流体力学的欧拉方程。 他还有一个更牛的地方就是继承了师爷莱布尼茨取名的能力，我们数值的圆周率π、复数i、自然底数e、还有正弦余弦正切符号也都是他创造的，微积分中的△x、f（x）也是出于他手。 还有洛必达侯爵，第一本关于微积分的教科书《阐明曲线的无穷小于分析》就是他写的，他也算是莱布尼茨的旁支吧。 可以说确实是牛顿首先发明了微积分，可微积分的推广与完善都是莱布尼茨和徒子徒孙们完成的，爵爷就是再牛，也不能一人对抗三代吧。 五、幽灵初现 但是即便是欧拉，也没有解决微积分的原罪，就是那个幽灵般的无穷小。 在阿基米德的时代，就对无穷小很头疼，不管怎么说无穷小虽然小，可是也存在呀，那怎么就舍去了呢？到了费马牛顿莱布尼茨，玩得更大了，需要的时候无穷小还是个数，不需要的时候就干脆说无穷小是零，那到底是不是零呀？这个问题要是不解决的话，微积分就建立在流沙之上，大厦是会随时崩塌的。 对于这个问题，大家都在装糊涂，都有意无意地装做没看见，可是有人看见了，并且提出了质疑，这个人又是谁呢？ |
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