引言问题求具有下述性质的最小正数 ：对任意整数 ，以及集合 ，若 ，则存在函数 ，满足 
分析首先猜测很关键。先尝试几种比较简单的情况，比如 的情况，以此掌握到 的大致范围，不难猜到 要证明它符合要求。注意到题目中出现的函数满足的条件，其实是说将 划分为两个子集，它们各自的所有元素之和的差不超过 1，进而需要对其中一个子集进行构造。本题需要用到一个引理： 引理：设 是正整数，总和为，且，则对任意整数，存在指标集，满足 接下来本题的证明将基于这个引理进行构造，这个引理对于本题来说至关重要。下面给出本题的详细解答，引理放在最后证明。 解答解：所求的最小的 首先，当,时，不存在满足条件的，因为这些数的总和为 16，而并不能划分为两个元素和均为 8 子集的并，此时，故不具有题述性质。接下来说明时满足题目要求，我们要使用分析中的引理。 注意到，我们分两种情况讨论。 （1）若为偶数，令将中元素从小到大依次记为
此时由题设知
即令，，则
从而满足引理的条件。 取，由引理知存在，使得
令
则
从而结论成立。 （2）若为奇数，令将中元素从小到大依次记为
此时由题设知
即令，，则同情况（1）可知
从而满足引理的条件。又因为
取，由引理知存在，使得
令
则
从而结论成立。
引理的证明： 对进行归纳。当时，结论显然成立。假设，并且结论在时成立。不妨设，则
又由于，从而
对任意整数，若，由归纳假设知存在，使得
若，则对使用归纳假设，存在，使得
从而存在，使得
证毕！ 点评这道题是本次加试最难的一道题，若事先不知道这个引理，则很难做出此题。
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