引言问题给定正整数 与 个非零实数 证明：至多有有限个 元正整数组 ，满足 互不相同，且 
分析这道题的关键点在于意识到： 是有上界的，而这个上界是与 有关的。 用通俗的语言来说，就是当太大时，即便用它的阶乘来乘 中绝对值最小的，也不可能让结果变成零。利用这一思想，我们用不等式来逼出的上界。 本文提供两种证法。 证法一：不等式证明：由于从而我们把所有的作如下限制：
我们选定某一满足条件的数组，即
令对于某个正整数由题意，是互不相同的正整数，也就是说，剩下的从而
从而整理得这说明具有上界。 数组中的每一个数都是正整数，并且具有上界，从而只有有限多种取值，从而也只有有限多种组合。 证法二：数列的敛散性证明：构造数列，使得若存在某数组使得
并且，则
否则 我们声明，满足前一个条件的项只有有限多项。若不然，我们将这些项选出来，当作数列的一个子列，其中
一方面，根据定义，数列中的每一项都是，从而收敛于 另一方面，根据定义，对于子列的每一项，存在数组使得，由题意，是互不相同的正整数，也就是说只有一个等于，剩下的此时
由于从而由上式知，
从而子列发散于无穷大，从而数列必然是发散的，这和收敛于是矛盾的。从而只有有限多项满足前一个条件，从而对于任意满足条件的数组来说，必然有上界，从而只有有限多种取值，从而也只有有限多种组合。 点评作为本次高中数学联赛（A卷）加试最简单的一道题，方法比较容易想到，正常情况可以在 20 分钟之内解决。
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