2021 第 62 届 IMO 第二题详解

引言

问题

对任意实数证明下述不等式成立：

分析

本题要使用如下的结论。

引理 1：对于任意实数，有

从而可以将原题中的转化为积分形式，从而问题迎刃而解。而为了证明上面的结论，我们需要用到如下的事实：

引理 2：

这两个引理的证明见附证。

解答

根据分析中的结论，注意到

那么

最后一步的不等式是由于被积函数恒不小于的缘故。证毕！

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附证：

引理 2 证明：

考虑整函数在闭合路径上的积分，其中闭合路径由三部分组成：沿着实轴正方向从到，沿着以为半径的圆弧从到，沿着直线从回到 令趋近于正无穷。

上的积分是高斯积分，

对于上的积分，作代换，

从而当趋近于正无穷时，上的积分趋近于

对于上的积分，作代换，

由于是整函数，从而在闭合路径上的积分为，

而将上述得到的上的积分代入得，

对上式取虚部得，

证毕！

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引理 1 的证明：

由分部积分公式得，

其中，

由夹逼准则知

从而

将上式替换成，积分值不会改变，这是由于是个偶函数，从而

由于当时，积分值等于，所以接下来讨论的情形。

作代换，得，

最后一步使用了引理 2。综合的情形，我们得到

证毕！

点评

本题是本次 IMO 最难的一道题，得分率也是最低的。若用初等的解法比较复杂，本文使用的是积分的做法。若事先就知道相关的一些结论，则做起来没有那么麻烦。