2021 第 62 届 IMO 第四题详解

引言

问题

设圆的圆心为，凸四边形满足：线段和都和相切。设是三角形的外接圆。往方向的延长线交于点，往方向的延长线交于点，往方向的延长线交于点，往方向的延长线交于点.

证明：

分析

本题需要用到一个简单的结论。

如下图所示，圆上有三点，其中，角的外角平分线交圆于点，那么

证明：由对称性，不妨设，从而在的右侧，取延长线上一点.

从而

解答

如下图，连接 线段分别与圆切于

注意到是的外角平分线，从而由分析中的结论知，同理，它们所对应的弧长也相等，从而

所以 由以及可以导出一对全等三角形

从而 同理

那么有

同理有

由之前的分析，,,，从而

证毕！

点评

本题是非常容易的几何题，使用的结论也比较常见。把线段拆开并分别证明一些线段相等即可解决此题。此题难度和本届 IMO 第一题难度相当。