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中考数学总复习(六)一道四点共圆解决线段求值问题

 lhyfsxb8kc6ks9 2022-01-26

一道四点共圆解决线段求值问题

在介绍问题之前先梳理一下相关的知识点:


【前置知识】

1.圆周角定理:

如图,⊙O的两条弦AC与BD相交于点E,那么就可以根据圆周角定理,得到同弧所对的圆周角相等,如∠A=∠D.

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2.圆周角定理的推论:

①如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,则根据圆的内接四边形对角互补,可以得到∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

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②如图,AC是⊙O的直径,那么根据直径所对的圆周角是直角,可以得到∠B=90°.

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③反过来,如上图,如果∠B=90°,那么根据直角所对的弦是直径,可以发现AC是⊙O的直径.


那大家常说的四点共圆是什么呢?其实主要是指以上几个定理的逆定理.

【四点共圆】

类型一:等角对同线

如图,若∠A=∠D,则点A、B、C、D四点共圆.

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类型二:对角互补

如图,若∠A+∠C=180°,则点A、B、C、D四点共圆.

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类型三:有一组对角都是直角的四边形

如图,若∠B=∠D=90°,则点A、B、C、D四点共圆.

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类型四:同侧共斜边的直角三角形

如图,若∠B=∠D=90°,,则点A、B、C、D四点共圆.

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有了以上的一些内容,我们可以来研究一道题目:

【题目】

如图,在平面直角坐标系种,点B为x轴正半轴上的一个动点,点C为直线l:y=√3x上的一个动点,BC=2,且点B、C不与原点重合,BP⊥x轴,CP⊥l,则OP的长为 .

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【答案】4√3/3.

【分析】

根据条件得∠PCO=∠PBO=90°

点O、B、P、C四点共圆.

由于BC的长度不变,且∠BOC=60°为定角,

那么该圆的大小是确定的.

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如上图,确定外接圆的圆心O′,连接O′B、O′C,

过点O′作O′D⊥BC,

那么就可以利用垂径定理得到r=2√3/3.

那么OP是直角所对的弦,也就是直径,长度为4√3/3.

下面大家可以看一个动态演示

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