一道经典的学习如何添加辅助线的初中几何证明题

这是一道经典的很能锻炼如何添加辅助线的技能的几何题。

题目如图所示。已知点E是圆弧AEC的中点，EF垂直于AB。

证明：AF=FB+BC。

分析：要求证明AF=FB+BC，就考虑把FB和BC放到同一线段上，因此延长FB至点D，使BD=BC。如图所示。

联系到EF垂直于AD，这样就容易想到要证明结论，可以连接AE，ED，只需证明三角形AED是等腰三角形即可。

此时问题就转变为证明AE=DE。

因为已知条件有AE=EC（因为E是圆弧AEC的中点），

连接EB，问题就转变为证明三角形EBC和三角形EBD全等。

已知两个三角形有共同的边EB，且BC=BD，则只需证明两边的夹角∠EBC=∠EBD。

∠EBC为圆弧EAC对应的圆周角。

∠EBD为三角形AEB的外角等于∠A+∠AEB。

∠A为圆弧EB对应的圆周角，∠AEB为圆弧ACB对应的圆周角。两者之和恰好为圆弧ECA对应的圆周角。

由此∠EBC=∠EBD，所以三角形EBC和三角形EBD全等，所以ED=EC=EA。

从而得证AF=DF=FB=BC。