一、基本内容二、小结二次曲面的定义:三元二次方程所表示的曲面称之.相应地平面被称为一次曲面.讨论二次曲面性状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌.以下用截痕法讨论几种特殊 的二次曲面.(一)椭球面椭球面与三个坐标面的交线:椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面 的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.椭球面的几种特殊情况:旋转椭 球面由椭圆绕轴旋转而成.旋转椭球面与椭球面的区别:方程可写为与平面 的交线为圆.球面截面上圆的方程方程可写为(二)抛物面(与 同号)椭圆抛物面用截痕法讨论:(1)用坐标面与曲面相截截得一点,即坐标原点设 原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面的交线为椭圆.当变动时,这种椭圆的 中心都在轴上.与平面不相交.(2)用坐标面 与曲面相截截得抛物线与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点(3)用坐标面 ,与曲面相截均可得抛物线.同理当 时可类似讨论.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下:特殊地:当时,方程变为 旋转抛物面(由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的)与平面 的交线为圆.当变动时,这种圆的中心都在轴上.(与同号)双曲抛物面( 马鞍面)用截痕法讨论:设图形如下:xyzo(三)双曲面单叶双曲面(1)用坐标面 与曲面相截截得中心在原点的椭圆.与平面的交线为椭圆.当 变动时,这种椭圆的中心都在轴上.(2)用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线 .实轴与轴相合,虚轴与轴相合.双曲线的中心都在轴上.与平面 的交线为双曲线.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.截痕 为一对相交于点的直线.截痕为一对相交于点的直线.(3)用坐标面 ,与曲面相截均可得双曲线.单叶双曲面图形xyoz平面 的截痕是两对相交直线.双叶双曲面xyo椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.(熟知这几个常见曲面的特性) |
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