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往期文章 斐波那契兔子问题 中世纪的欧洲出现了一位意大利数学家斐波那契（Fibonacci），1202年，他撰写了《算盘书》（Liber Abacci）一书 在这本书中，提到了一个“兔子问题”：假设一对成年兔子每个月能生出一对小兔子，且小兔两个月就可生育，如果所有兔子都不死，那么由一对小兔开始，一年以后可以繁殖多少对兔子？
兔子的对数形成了一个数列，容易发现前10项是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、… 设Fn表示第n个月的兔子对数，则有 F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2 （n>1） 利用数学归纳法可以得到 Fn+m=FmFn+1+Fm-1Fn 例如： F2+3=F3F3+F2F2 即 5=2×2+1×1 不难发现，若n是m的因数，则Fn 也是Fm的因数。 生活中的斐波那契数列 某些花的每层叶子数量满足斐波那契数列
（图片源自百度）
（图片源自百度）
（图片源自百度） 1718年，法国数学家棣莫弗（De Moiver）发现了这个数列的通项公式：
这个公式后来被瑞士数学家贝努利证明，并且得到
右边值就是黄金分割率（1.618…） 1876年，法国数学家卢卡斯运用欧几里得算法证明了，对任意的整数m、n, 有 (Fm, Fn) =F(m,n) 并且定义了数列（被后人称为卢卡斯数的序列） L0=2，L1=1，Ln=Ln-1+Ln-2 （n>1） 通项公式为：
两个数列之间的关系为： Ln=Fn-1+Fn+1 , Fn=(Ln-1+Ln+1)/5. 同余式 当p为奇素数时 Fp≡5(p-1)/2 （mod p） Lp≡1 （mod p） 下期介绍二次剩余。 |
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